Question

4．已知函數(shù)f（x）=lnx-x³與g（x）=x³-ax的圖象上存在關(guān)于x軸的對稱點，則實數(shù)a的取值范圍為（　�。�

• A． （-∞，e）
• B． （-∞，e]
• C． $（-∞，\frac{1}{e}）$
• D． $（-∞，\frac{1}{e}]$

Answer 1

分析 由題意可知f（x）=-g（x）有解，即y=lnx與y=ax有交點，根據(jù)導(dǎo)數(shù)的幾何意義，求出切點，結(jié)合圖象，可知a的范圍．

解答 解：函數(shù)f（x）=lnx-x³與g（x）=x³-ax的圖象上存在關(guān)于x軸的對稱點，
∴f（x）=-g（x）有解，
∴l(xiāng)nx-x³=-x³+ax，
∴l(xiāng)nx=ax，在（0，+∞）有解，
分別設(shè)y=lnx，y=ax，
若y=ax為y=lnx的切線，
∴y′=$\frac{1}{x}$，
設(shè)切點為（x₀，y₀），
∴a=$\frac{1}{{x}_{0}}$，ax₀=lnx₀，
∴x₀=e，
∴a=$\frac{1}{e}$，
結(jié)合圖象可知，a≤$\frac{1}{e}$
故選：D．

點評 本題導(dǎo)數(shù)的幾何意義，以及函數(shù)與方程的綜合應(yīng)用問題，關(guān)鍵是轉(zhuǎn)化為y=lnx與y=ax有交點，屬于中檔題．