Question

NBA總決賽采用7場(chǎng)4勝制，即若某隊(duì)先取勝4場(chǎng)則比賽結(jié)束．由于NBA有特殊的政策和規(guī)則，能進(jìn)入決賽的球隊(duì)實(shí)力都較強(qiáng)，因此可以認(rèn)為，兩個(gè)隊(duì)在每一場(chǎng)比賽中取勝的概率相等．根據(jù)不完全統(tǒng)計(jì)，主辦一場(chǎng)決賽，組織者有望通過出售電視轉(zhuǎn)播權(quán)、門票及零售商品、停車費(fèi)、廣告費(fèi)等收入獲取收益2 000萬(wàn)美元（相當(dāng)于籃球巨星科比的年薪）．
（1）求所需比賽場(chǎng)數(shù)X的概率分布；
（2）求組織者收益的數(shù)學(xué)期望．

Answer 1

分析：（1）所需比賽場(chǎng)數(shù)X是隨機(jī)變量，其所有可能取值為4，5，6，7，根據(jù)兩個(gè)隊(duì)在每一場(chǎng)比賽中取勝的概率相等，得到變量 符合獨(dú)立重復(fù)試驗(yàn)，根據(jù)獨(dú)立重復(fù)試驗(yàn)的概率公式寫出分布列．
（2）根據(jù)上一問做出的X的分布列，寫出期望的表示式，做出結(jié)果，根據(jù)一場(chǎng)收入獲取收益2 000萬(wàn)美元，得到組織者收益的數(shù)學(xué)期望．

解答：解：（1）所需比賽場(chǎng)數(shù)X是隨機(jī)變量，其所有可能取值為4，5，6，7，
兩個(gè)隊(duì)在每一場(chǎng)比賽中取勝的概率相等，
從而P（X=k）=

C

3 k-1

(

1

2

)k-1，k=4，5，6，7．
∴X的概率分布為

ξ	4	5	6	7
P	1 8	1 4	5 16	5 16

（2）所需比賽場(chǎng)數(shù)的數(shù)學(xué)期望是E(X)=4×

1

8

+5×

1

4

+6×

5

16

+7×

5

16

=

93

16

組織者收益的數(shù)學(xué)期望為

93

16

×2000=11625萬(wàn)美元．

點(diǎn)評(píng)：本題考查離散型隨機(jī)變量的分布列和期望，求離散型隨機(jī)變量的分布列和期望是近年來理科高考必出的一個(gè)問題，題目做起來不難，運(yùn)算量也不大，但是要注意解題格式．