Question

【題目】如圖，在△ABC中，AB=2，3acosB﹣bcosC=ccosB，點(diǎn)D在線(xiàn)段BC上．

（1）若∠ADC= ，求AD的長(zhǎng)；
（2）若BD=2DC，△ACD的面積為 ，求 的值．

Answer 1

【答案】
（1）解：∵3acosB﹣bcosC=ccosB，

∴3sinAcosB=sinCcosB+sinBcosC，3sinAcosB=sin（B+C），

∵B+C=π﹣A，

∴3sinAcosB=sinA，

∵A∈（0，π），

∴sinA＞0， ．

∵B∈（0，π），

∴ ．

∵ ，

∴ ，

在△ABD中，由正弦定理得， ，

∴ ， ．

（2）解：設(shè)DC=a，則BD=2a，

∵BD=2DC，△ACD的面積為 ，

∴ ，

∴ ，

∴a=2．…（8分）

∴ ，由正弦定理可得 ，

∴ ． ，

∴ ，

∵sin∠ADB=sin∠ADC，

∴ ．

【解析】（1）由三角形內(nèi)角和定理，兩角和的正弦函數(shù)公式，正弦定理化簡(jiǎn)已知等式可得3sinAcosB=sinA，結(jié)合sinA＞0，可求 ，利用同角三角函數(shù)基本關(guān)系式可求sinB，進(jìn)而可求 ，由正弦定理即可求得AD的值．（2）設(shè)DC=a，則BD=2a，利用已知及三角形面積公式可求a，利用余弦定理可求AC，由正弦定理可得 ，結(jié)合sin∠ADB=sin∠ADC，即可求值得解．
【考點(diǎn)精析】掌握正弦定理的定義是解答本題的根本，需要知道正弦定理:．