Question

已知定義在R上的奇函數(shù)f（x）滿足f（3）=0，且周期T=4，則方程f（x）=0在x∈[0，10]的根有 ________．

Answer 1

0，1，2，3，4，5，6，7，8，9，10共11個
分析：由已知函數(shù)為奇函數(shù)，結(jié)合函數(shù)的周期為4可得f（0）=0?f（4）=f（8）=0，由f（3）=0?（7）=0，又f（-3）=0?f（1）=f（5）=f（9）=0，結(jié)合奇函數(shù)及周期又可得f（-2）=-f（2），f（-2）=f（-2+4）=f（2）可得f（2）=0?f（6）=f（10）=0，從而可得．
解答：由已知可知f（3）=0，
因為f（x）是R上的奇函數(shù)，所以f（-3）=-f（3）=0，f（0）=0
又因為函數(shù)的周期為4，即f（x+4）=f（x）
所以f（0）=f（4）=f（8）=0，f（3）=f（7）=0，f（-3）=f（1）=f（5）=f（9）=0，
因為f（-2）=f（2）=-f（2），所以f（2）=0，
則f（2）=f（6）=f（10）=0
所以方程f（x）=0在x∈[0，10]的根有 0，1，2，3，4，5，6，7，8，9，10
故答案為：0，1，2，3，4，5，6，7，8，9，10共11個
點評：本題主要考查了函數(shù)的奇偶性、函數(shù)的單調(diào)性及函數(shù)周期的綜合運用，解決本題的關(guān)鍵是熟練掌握函數(shù)的各個性質(zhì)并能靈活運用性質(zhì)，還要具備一定的綜合論證的解題能力．