Question

8．在如圖所示的幾何體中，四邊形ABCD為矩形，平面ABEF⊥平面ABCD，EF∥AB，∠BAF=90°，AD=2，AB=AF=2EF=1，點P在棱DF上．
（1）若P是DF的中點，求異面直線BE與CP所成角的余弦值；
（2）若二面角D-AP-C的余弦值為$\frac{{\sqrt{6}}}{3}$，求PF的長度．

Answer 1

分析 （1）以A為坐標原點，AB，AD，AF分別為x，y，z軸，建立空間直角坐標系O-xyz，利用向量法能求出異面直線BE與CP所成角的余弦值．
（2）求出平面APF的法向量和平面APC的法向量，利用向量法能求出結(jié)果．

解答 解：（1）∵∠BAF=90°，∴AF⊥AB，
∵平面ABEF⊥平面ABCD，且平面ABEF∩平面ABCD=AB，∴AF⊥平面ABCD，
∵四邊形ABCD為矩形，∴以A為坐標原點，AB，AD，AF分別為x，y，z軸，
建立如圖所示空間直角坐標系O-xyz．
∴B（1，0，0），E（$\frac{1}{2}$，0，1）P（0，1，$\frac{1}{2}$），C（1，2，0）．
∴$\overrightarrow{BE}$=（-$\frac{1}{2}$，0，1）$\overrightarrow{CP}$=（-1，-1，$\frac{1}{2}$），
∴cos＜$\overrightarrow{BE}，\overrightarrow{CP}$＞=$\frac{\overrightarrow{BE}•\overrightarrow{CP}}{|\overrightarrow{BE}|•|\overrightarrow{CP}|}$=$\frac{4\sqrt{5}}{15}$，
∴異面直線BE與CP所成角的余弦值為$\frac{4\sqrt{5}}{15}$．
（2）∵AB⊥平面ADF，∴平面APF的法向量為$\overrightarrow{n}$=（1，0，0），
設(shè)P點坐標為（0，2-2t，t），在平面APC中，$\overrightarrow{AP}$=（0，2-2t，t）$\overrightarrow{AC}$=（1，2，0），
∴平面APC的法向量為$\overrightarrow{m}$=（-2，1，$\frac{2t-2}{t}$），
∴cos＜$\overrightarrow{m}，\overrightarrow{n}$＞=$\frac{\overrightarrow{m}•\overrightarrow{n}}{|\overrightarrow{m}|•|\overrightarrow{n}|}$=$\frac{\overrightarrow{m}•\overrightarrow{n}}{|\overrightarrow{m}|•|\overrightarrow{n}|}$=$\frac{2}{\sqrt{5+（\frac{2t-2}{t}）^{2}}}$=$\frac{\sqrt{6}}{3}$，
解得t=$\frac{2}{3}$，或t=2（舍），此時PF=$\frac{\sqrt{5}}{3}$．

點評 本題考查異面直線所成角的余弦值的求法，考查滿足角的余弦值的線段長的求法，考查空間中線線、線面、面面間的關(guān)系等基礎(chǔ)知識，考查推理論證能力、空間想象能力、運算求解能力，考查數(shù)形結(jié)合思想、函數(shù)與方程思想，是中檔題．