Question

20．已知函數(shù)f（x）=sinx-acosx圖象的一條對稱軸為x=$\frac{3}{4}$π，記函數(shù)f（x）的兩個極值點分別為x₁，x₂，則|x₁+x₂|的最小值為$\frac{π}{2}$．

Answer 1

分析 化簡函數(shù)f（x）=sinx-acosx為一個角的一個三角函數(shù)的形式，利用圖象關(guān)于直線x=$\frac{3}{4}$π對稱，就是x=$\frac{3}{4}$π時，函數(shù)取得最值，求出a．即可得到答案．

解答 解：函數(shù)f（x）=sinx-acosx=$\sqrt{{a}^{2}+1}$sin（x-θ），
其中tanθ=a，θ∈（-$\frac{π}{2}$，$\frac{π}{2}$），
其圖象關(guān)于直線x=$\frac{3}{4}$π對稱，
所以$\frac{3}{4}$π-θ=$\frac{π}{2}$，θ=$\frac{π}{4}$，
所以tanθ=a=1．
則f（x）=sinx-cosx=$\sqrt{2}$sin（x-$\frac{π}{4}$），
若x₁，x₂為函數(shù)f（x）的兩個極值點，
則當(dāng)x₁=-$\frac{π}{4}$，x₂=$\frac{3}{4}$π時，|x₁+x₂|的最小值為$\frac{π}{2}$，
故答案為：$\frac{π}{2}$

點評 本題考查正弦函數(shù)的對稱性，考查計算能力，邏輯思維能力，是中檔題．