Question

15．已知△ABC中，角A，B，C的對邊分別為a，b，c，ccosA=$\frac{4}$且△ABC的面積S≥2．
（1）求A的取值范圍；
（2）求函數(shù)f（x）=cos²A+$\sqrt{3}$sin²（$\frac{π}{2}$+$\frac{A}{2}$）-$\frac{\sqrt{3}}{2}$的最大值．

Answer 1

分析 （1）根據(jù)△ABC的面積公式，結(jié)合題意求出tanA=$\frac{1}{2}$S≥1，即可求出A的取值范圍；
（2）利用誘導(dǎo)公式化簡函數(shù)f（x），根據(jù)A的取值范圍求出f（A）的最大值．

解答 解：（1）△ABC的面積為S=$\frac{1}{2}$bcsinA，∴bcsinA=2S；
又ccosA=$\frac{4}$，∴bccosA=4；
∴tanA=$\frac{1}{2}$S≥1，
∴A的取值范圍是$\frac{π}{4}≤A＜\frac{π}{2}$；
（2）函數(shù)f（x）=cos²A+$\sqrt{3}$sin²（$\frac{π}{2}$+$\frac{A}{2}$）-$\frac{\sqrt{3}}{2}$
=cos²A+$\sqrt{3}$cos²$\frac{A}{2}$-$\frac{\sqrt{3}}{2}$
=cos²A+$\frac{\sqrt{3}（1+cosA）}{2}$-$\frac{\sqrt{3}}{2}$
=cos²A+$\frac{\sqrt{3}}{2}$cosA
=${（cosA+\frac{\sqrt{3}}{4}）}^{2}$-$\frac{3}{16}$，
∵$\frac{π}{4}$≤A≤$\frac{π}{2}$，
∴0≤cosA≤$\frac{\sqrt{2}}{2}$，
∴cosA=$\frac{\sqrt{2}}{2}$，即A=$\frac{π}{4}$時(shí)，f（A）取得最大值為$\frac{1}{2}$+$\frac{\sqrt{6}}{4}$．

點(diǎn)評 本題考查了三角函數(shù)誘導(dǎo)公式的應(yīng)用問題，也考查了復(fù)合函數(shù)的單調(diào)性與最值問題，是綜合題．