Question

如圖，在四棱錐中，平面，底面是菱形，.

（1）求證：平面

（2）若求與所成角的余弦值；

 

Answer 1

（1）見解析；（2）

【解析】

試題分析：證明線面垂直的方法：一是線面垂直的判定定理；二是利用面面垂直的性質定理；三是平行線法（若兩條平行線中的一條垂直于這個平面，則另一條也垂直于這個平面.解題時，注意線線、線面與面面關系的相互轉化. 過空間任意一點引兩條直線分別平行于兩條異面直線，它們所成的銳角（或直角）就是異面直線所成的角。 （注：當所成角為90°時，兩直線垂直。）求兩條異面直線所成角的大小一般方法是通過平行移動直線，把異面問題轉化為共面問題來解決。 異面直線所成角的步驟一般是①平移其中一條或兩條使其相交。②連接端點，使角在一個三角形中。③計算三條邊長，用余弦定理計算余弦值。④若余弦值為負，則取其相反數。

試題解析：證明：∵ABCD是菱形∴

∵PA平面ABCD，BD平面ABCD，∴PABD

PAAC=A，PA平面PAC，AC平面PAC

∴BD平面PAC

（2）延長DA到E，使AE=DA，連接BE，PE，則AEBC

∴四邊形AEBC為平行四邊形

∴BE//AC，

∴BE與BP所成的角就是兩異面直線所成的角即

在中， PA=2,AE=2,PAAE,∴PE=,BE=AC=,PB=

∴

考點：直線與平面垂直的判斷及異面直線所成的角