Question

18．如圖所示的是自動通風(fēng)設(shè)施．該設(shè)施的下部ABCD是等腰梯形，其中AB=1米，高0.5米，CD=2米．上部CmD是個半圓，固定點E為CD的中點．△EMN是由電腦控制其形狀變化的三角通風(fēng)窗（陰影部分均不通風(fēng)），MN是可以沿設(shè)施邊框上下滑動且始終保持和CD平行的伸縮橫桿．
（1）設(shè)MN與AB之間的距離為x米，試將三角通風(fēng)窗△EMN的通風(fēng)面積S（平方米）表示成關(guān)于x的函數(shù)S=f（x）；
（2）當(dāng)MN與AB之間的距離為多少米時，三角通風(fēng)窗△EMN的通風(fēng)面積最大？求出這個最大面積．

Answer 1

分析 （1）三角形的面積與x的關(guān)系是分段函數(shù)，所以分類討論即可．
（2）求出每一段上的最大值．再找到最大的一個即可．

解答 解：（1）①當(dāng)0≤x＜0.5時，△EMN的高是0.5-x，底是1+2x（可以由三角形相似得到），
∴f（x）=$\frac{1}{2}$（0.5-x）（1+2x）=$\frac{1}{2}$（0.5-2x²），
②當(dāng)1.5≥x≥0.5時，△EMN的高是x-0.5，底是2$\sqrt{1-（0.5-x）^{2}}$，
∴f（x）=（x-0.5）$\sqrt{\frac{3+4x-4{x}^{2}}{4}}$，
∴f（x）=$\left\{\begin{array}{l}{\frac{1}{2}（\frac{1}{2}-2{x}^{2}）}&{0≤x＜\frac{1}{2}}\\{（x-\frac{1}{2}）\sqrt{\frac{3+4x-4{x}^{2}}{4}}}&{\frac{1}{2}≤x≤\frac{3}{2}}\end{array}\right.$，
（2）當(dāng)0≤x＜0.5時，f（x）是單調(diào)遞減的，f（x）的最大值為f（0）=$\frac{1}{4}$，
當(dāng)1.5≥x≥0.5時，f（x）是在（$\frac{1}{2}$，$\frac{1+\sqrt{2}}{2}$）上單調(diào)遞增，在（$\frac{1+\sqrt{2}}{2}$，$\frac{3}{2}$）上單調(diào)遞減，
∴f（x）的最大值為f（$\frac{1+\sqrt{2}}{2}$）=$\frac{1}{2}$，
∴當(dāng)x=$\frac{1+\sqrt{2}}{2}$時，三角形面積最大，最大面積為$\frac{1}{2}$．

點評 本題考查分段函數(shù)求解析式，所以分類討論即可．求最大值時，只需求出每一段上的最大值，再找到最大的一個即可．