Question

3．如圖，已知∠BAC=$\frac{π}{3}$，正△PMN的頂點(diǎn)M、N分別在射線AB、AC上運(yùn)動(dòng)，P在∠BAC的內(nèi)部，MN=2，M、P、N按逆時(shí)針?lè)较蚺帕�，設(shè)∠AMN=θ．
（1）求AM（用θ表示）；
（2）當(dāng)θ為何值時(shí)PA最大，并求出最大值．

Answer 1

分析 （1）在△AMN中，由正弦定理可得：$\frac{AM}{sin（\frac{2π}{3}-θ）}$=$\frac{MN}{sin\frac{π}{3}}$，代入化簡(jiǎn)即可得出．
（II）在△AMP中，由余弦定理可得：AP²=AM²+2²-4AMcos∠AMP，代入化簡(jiǎn)整理即可得出．

解答 解：（1）在△AMN中，由正弦定理可得：$\frac{AM}{sin（\frac{2π}{3}-θ）}$=$\frac{MN}{sin\frac{π}{3}}$，
∴AM=$\frac{4\sqrt{3}}{3}$$sin（\frac{2π}{3}-θ）$=$\frac{4\sqrt{3}}{3}$$sin（\frac{π}{3}+θ）$．
（II）在△AMP中，由余弦定理可得：
AP²=AM²+2²-4AMcos∠AMP=$\frac{16}{3}si{n}^{2}（\frac{π}{3}+θ）$+4-$\frac{16}{3}sin（\frac{π}{3}+θ）$$cos（\frac{π}{3}+θ）$
=$\frac{8}{3}（1-cos（2θ+\frac{2π}{3}））$+4-$\frac{8\sqrt{3}}{3}$$sin（2θ+\frac{2π}{3}）$
=$-\frac{8}{3}$$[\sqrt{3}sin（2θ+\frac{2π}{3}）+cos（2θ+\frac{2π}{3}）]$+$\frac{20}{3}$
=$\frac{20}{3}$-$\frac{16}{3}$$sin（2θ+\frac{5π}{6}）$，θ∈$（0，\frac{2π}{3}）$．
當(dāng)且僅當(dāng)$2θ+\frac{5π}{6}$=$\frac{3π}{2}$，即θ=$\frac{π}{3}$時(shí)，|AP|_max=2$\sqrt{3}$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了正弦定理余弦定理、三角函數(shù)求值，考查了推理能力與計(jì)算能力，屬于中檔題．