Question

已知在等比數(shù)列{a_n}中，首項a₁=2012，公比q=-

1

2

，記T_n為它的前n項之積，則T_n最大時，正整數(shù)n的值為

 

．

Answer 1

考點：等比數(shù)列的性質(zhì)

專題：等差數(shù)列與等比數(shù)列

分析：由已知得到等比數(shù)列的通項公式，求出它的前n項之積T_n，要使T_n最大，則a_n-2a_n≥1．由此列式求得n值．

解答： 解：在等比數(shù)列{a_n}中，由首項a₁=2012，公比q=-

1

2

，
得an=a1qn-1=2012•(-

1

2

)n-1．
T_n=a1a2…an=(a1)n•(-

1

2

)

n(n-1)

2

．
若使T_n最大，則

n(n-1)

2

被2整除，故n被4整除，
由此，第n-2項與第n項均為負(fù)，其乘積取正，則需要滿足a_n-2a_n≥1．
而an-2an=a12q2n-4=20122(-

1

2

)2n-4＜20482(

1

2

)2n-4=2^26-2n．
由26-2n＞0，得n＜13，又n∈N^*，
∴正整數(shù)n的值為12．
故答案為：12．

點評：本題考查了等比數(shù)列的性質(zhì)，考查了數(shù)學(xué)轉(zhuǎn)化思想方法，關(guān)鍵是對題意的理解，是中檔題．