Question

10．已知A，B，C三點在曲線$y=\sqrt{x}$上，其橫坐標(biāo)依次為1，m，4（1＜m＜4），當(dāng)△ABC的面積最大時，m的值為（　�。�

• A． $\frac{9}{4}$
• B． $\frac{3}{2}$
• C． $\frac{5}{2}$
• D． 3

Answer 1

分析 求出A、B、C三點的坐標(biāo)，求出AC的方程，利用點到直線的距離公式求出三角形的高，推出面積的表達(dá)式，然后求解面積的最大值時的m值．

解答 解：由題意知，A（1，1），B（m，$\sqrt{m}$），C（4，2），
直線AC所在方程為x-3y+2=0，
點B到該直線的距離為d=$\frac{|m-3\sqrt{m}+2|}{\sqrt{10}}$，
S_△ABC=$\frac{1}{2}$|AC|•d=$\frac{1}{2}$•$\sqrt{10}$•$\frac{|m-3\sqrt{m}+2|}{\sqrt{10}}$=$\frac{1}{2}$|m-3$\sqrt{m}$+2|=$\frac{1}{2}$|（$\sqrt{m}$-$\frac{3}{2}$）²-$\frac{1}{4}$|
∵m∈（1，4），
∴當(dāng)$\sqrt{m}$=$\frac{3}{2}$時，S_△ABC有最大值，此時m=$\frac{9}{4}$．
故選A．

點評 本題考查點到直線的距離公式的應(yīng)用，三角形的面積的最值的求法，考查計算能力．