Question

15．（1）若f（x）=-$\frac{1}{2}$x²+bln（x+2）在（-1，+∞）上是減函數(shù)，求b的取值范圍；
（2）已知函數(shù)f（x）=x³-ax²+x，a∈R．若函數(shù)f（x）在區(qū)間（1，2]內(nèi)存在單調(diào)遞增區(qū)間，求a的取值范圍；
（3）已知函數(shù)f（x）=x³-ax²-a²x+3（a＜0），若函數(shù)f（x）在區(qū)間（-2，-1）內(nèi)是增函數(shù)，求a的取值范圍．

Answer 1

分析 （1）由函數(shù)在（-1，+∞）上是減函數(shù)，得f′（x）≤0，求導(dǎo)后分離參數(shù)b得答案；
（2）由題意可得，f′（x）=3x²-2ax+1＞0在（1，2]上有解，利用分離參數(shù)法求得答案；
（3）求出原函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)，導(dǎo)函數(shù)的對稱軸在y軸左邊，要使函數(shù)f（x）在區(qū)間（-2，-1）內(nèi)是增函數(shù)，則需要導(dǎo)函數(shù)對應(yīng)方程的小根大于等于-1，由此得答案．

解答 解：（1）由題意可知f′（x）=-x+$\frac{x+2}$≤0在x∈（-1，+∞）上恒成立，
即b≤x（x+2）在x∈（-1，+∞）上恒成立，
令f（x）=x（x+2）=x²+2x，x∈（-1，+∞），∴f（x）＞-1，
∴要使b≤x（x+2），需b≤-1，
故b的取值范圍為（-∞，-1]；
（2）f′（x）=3x²-2ax+1，
已知函數(shù)在區(qū)間（1，2]上存在單調(diào)遞增區(qū)間，
得f′（x）=3x²-2ax+1＞0在（1，2]上有解，
有2ax＜3x²+1，即a＜$\frac{3}{2}x+\frac{1}{2x}$在（1，2]上有解，
而$\frac{3}{2}x+\frac{1}{2x}=\frac{3}{2}（x+\frac{1}{3x}）$在（1，2]上的最大值為$\frac{13}{4}$，
故a的取值范圍是（-∞，$\frac{13}{4}$）；
（3）f′（x）=3x²-2ax-a²=（3x+a）（x-a），
對稱軸方程為x=$\frac{a}{3}＜0$，要使函數(shù)f（x）在區(qū)間（-2，-1）內(nèi)是增函數(shù)，
則a≥-1，∴-1≤a＜0．
故a的取值范圍為[-1，0）．

點評 本題考查利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性，考查了數(shù)學(xué)轉(zhuǎn)化思想方法，訓(xùn)練了“三個二次”在解題中的應(yīng)用，是中檔題．