Question

17．已知圓O：（x-a）²+y²=4上存在兩點(diǎn)關(guān)于直線x-y-2=0對(duì)稱，則過拋物線y²=4x焦點(diǎn)的直線l與圓O交于A，B兩點(diǎn)，最短弦長|AB|等于（　�。�

• A． 1
• B． $\sqrt{3}$
• C． 2$\sqrt{3}$
• D． 4

Answer 1

分析 根據(jù)直線過圓心解出a的值，得出圓O的圓心和半徑，解出拋物線的焦點(diǎn)坐標(biāo)（1，0），設(shè)AB方程為x+my-1=0，求出圓心到直線l的距離，利用垂徑定理得出弦長公式，故當(dāng)d最大時(shí)，弦長最小．

解答 解：∵已知圓O：（x-a）²+y²=4上存在兩點(diǎn)關(guān)于直線x-y-2=0對(duì)稱，
∴直線x-y-2=0經(jīng)過圓O的圓心（a，0），∴a-2=0，即a=2．圓O的半徑r=2．
拋物線y²=4x的焦點(diǎn)坐標(biāo)為（1，0），
設(shè)AB的方程為x+my-1=0，則圓心O（2，0）到直線l的距離d=$\frac{1}{\sqrt{1+{m}^{2}}}$．
∴當(dāng)m=0時(shí)，d取得最大值1，
∴|AB|的最小值為2$\sqrt{{r}^{2}-4qhownd^{2}}$=2$\sqrt{4-1}$=2$\sqrt{3}$．
故選：C．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了拋物線的性質(zhì)，直線與圓的位置關(guān)系，屬于中檔題．，