Question

2．設(shè)二次函數(shù)f（x）=ax²+bx+c（a＞0），x₁，x₂為函數(shù)y=f（x）-x的兩個零點(diǎn)，且滿足0＜x₁＜x₂＜$\frac{1}{a}$．當(dāng)x∈（0，x₁）時，則（　�。�

• A． f（x）＜x＜x₁
• B． x＜x₁＜f（x）
• C． x＜f（x）＜x₁
• D． x＜x₂＜f（x）

Answer 1

分析 由函數(shù)零點(diǎn)的定義化簡函數(shù)y=f（x）-x，當(dāng)x∈（0，x₁）時利用函數(shù)的解析式推出x＜f （x），然后作差
x₁-f（x）化簡后，結(jié)合x的范圍以及大小關(guān)系分析出f（x）＜x₁．

解答 解：∵x₁，x₂為函數(shù)y=f（x）-x的兩個零點(diǎn)，
∴y=F（x）=a（x-x₁）（x-x₂），
當(dāng)x∈（0，x₁）時，由x₁＜x₂得（x-x₁）（x-x₂）＞0，
又a＞0，則F（x）=a（x-x₁）（x-x₂）＞0，
∴x＜f（x）．
∵x₁-f（x）=x₁-[x+F（x）]=x₁-x+a（x₁-x）（x-x₂）
=（x₁-x）[1+a（x-x₂）]
因?yàn)?＜x＜x₁＜x₂＜$\frac{1}{a}$，
所以x₁-x＞0，1+a（x-x₂）=1+ax-ax₂＞1-ax₂＞0．
得x₁-f（x）＞0，∴f（x）＜x₁，
故選：C．

點(diǎn)評 本題考查函數(shù)零點(diǎn)的應(yīng)用，作差法比較大小，考查化簡、變形能力，寫出二次函數(shù)的零點(diǎn)式y(tǒng)=a（x-x₁）（x-x₂）是解決本題的關(guān)鍵．