Question

【題目】已知函數(shù)f（x）=ln（x+1）+ax2 ， a＞0．
（1）討論函數(shù)f（x）的單調(diào)性；
（2）若函數(shù)f（x）在區(qū)間（﹣1，0）有唯一零點x0 ， 證明： ．

Answer 1

【答案】
（1）解：由（1）及f（0）=0可知：僅當極大值等于零，即f（x1）=0時，符合要求．

此時，x1就是函數(shù)f（x）在區(qū)間（﹣1，0）的唯一零點x0．

所以 ，從而有 ，

又因為 ，所以 ，

令x0+1=t，則 ，

設 ，則 ，

再由（1）知： ，h'（t）＜0，h（t）單調(diào)遞減，

又因為 ， ，

所以e﹣2＜t＜e﹣1，即

（2）解：由（1）及f（0）=0可知：僅當極大值等于零，即f（x1）=0時，符合要求．

此時，x1就是函數(shù)f（x）在區(qū)間（﹣1，0）的唯一零點x0．

所以 ，從而有 ，

又因為 ，所以 ，

令x0+1=t，則 ，

設 ，則 ，

再由（1）知： ，h'（t）＜0，h（t）單調(diào)遞減，

又因為 ， ，

所以e﹣2＜t＜e﹣1，即

【解析】（1）求出函數(shù)的導數(shù)，通過討論a的范圍，求出函數(shù)的單調(diào)區(qū)間；（2）求出 ，得到 ，令x0+1=t，則 ，設 ，根據(jù)函數(shù)的單調(diào)性證明即可．
【考點精析】利用利用導數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性和函數(shù)的極值與導數(shù)對題目進行判斷即可得到答案，需要熟知一般的,函數(shù)的單調(diào)性與其導數(shù)的正負有如下關系： 在某個區(qū)間內(nèi)，(1)如果，那么函數(shù)在這個區(qū)間單調(diào)遞增；(2)如果，那么函數(shù)在這個區(qū)間單調(diào)遞減；求函數(shù)的極值的方法是:（1）如果在附近的左側,右側,那么是極大值（2）如果在附近的左側,右側,那么是極小值．