Question

3．在等比數(shù)列{a_n}中，a_n＞0（n∈N^*），公比q∈（0，1），且a₁a₅+2a₃a₅+a₂a₈=25，又a₃與a₅的等比中項(xiàng)為2．
（1）求數(shù)列{a_n}的通項(xiàng)公式；
（2）設(shè)b_n=log₂a_n，數(shù)列{b_n}的前n項(xiàng)和為S_n，求數(shù)列{S_n}的通項(xiàng)公式及使S_n取的最大值時(shí)的n值．

Answer 1

分析 （1）由等比數(shù)列的性質(zhì)聯(lián)立方程組求出首項(xiàng)和公比，由此能求出數(shù)列{a_n}的通項(xiàng)公式．
（2）先推導(dǎo)出數(shù)列{b_n}是以b₁=4為首項(xiàng)，-1為公差的等差數(shù)列．求出其前n項(xiàng)和，利用配方法能求出數(shù)列{S_n}的通項(xiàng)公式及使S_n取的最大值時(shí)的n值．

解答 解�。�1）∵a₁a₅+2a₃a₅+a₂a₈=25，∴a₃²+2a₃a₅+a₅²=25．
又a_n＞0，∴a₃+a₅=5．①
又a₃與a₅的等比中項(xiàng)為2，
∴a₃a₅=4．②，
而q∈（0，1），∴a₃＞a₅．
∴由①與②解得a₃=4，a₅=1．
∴q²=$\frac{{a}_{5}}{{a}_{3}}=\frac{1}{4}$，q=$\frac{1}{2}$．∴a₁=16．
∴a_n=16×（$\frac{1}{2}$）^n-1=2^5-n．
（2）b_n=log₂a_n=5-n，b_n+1-b_n=-1，b₁=4．
∴數(shù)列{b_n}是以b₁=4為首項(xiàng)，-1為公差的等差數(shù)列．
∴S_n=$4n+\frac{n（n-1）}{2}×（-1）$=-$\frac{{n}^{2}}{2}+\frac{9n}{2}$
即S_n=$-\frac{1}{2}{（{n-\frac{9}{2}}）^2}+\frac{81}{8}$．
則當(dāng)n=4或5時(shí)，S_n有最大值是10．
所以使S_n取的最大值時(shí)的n值為4或5．

點(diǎn)評(píng) 本題考查數(shù)列的通項(xiàng)公式及前n項(xiàng)和的求法，考查前n項(xiàng)和取最大值時(shí)項(xiàng)數(shù)n的求法，是中檔題，解題時(shí)要認(rèn)真審題，注意等差數(shù)列、等比數(shù)列的性質(zhì)的合理運(yùn)用．