Question

13．已知O為坐標原點，對于函數(shù)f（x）=asinx+bcosx，稱向量$\overrightarrow{OM}=（a，b）$為函數(shù)f（x）的伴隨向量，同時稱函數(shù)f（x）為向量$\overrightarrow{OM}$的伴隨函數(shù)．
（Ⅰ）設(shè)函數(shù)$g（x）=-sin（\frac{3π}{2}-x）+\sqrt{3}sin（π+x）$，試求g（x）的伴隨向量$\overrightarrow{OM}$；
（Ⅱ）記向量$\overrightarrow{ON}=（1，2）$的伴隨函數(shù)為f（x），求當$f（x）=\frac{{4\sqrt{5}}}{5}$且$x∈（0，\frac{π}{2}）$時sinx的值；
（Ⅲ）由（Ⅰ）中函數(shù)g（x）的圖象（縱坐標不變）橫坐標伸長為原來的2倍，再把整個圖象向右平移$\frac{2π}{3}$個單位長度得到h（x）的圖象．已知A（-2，3）B（2，6），問在y=h（x）的圖象上是否存在一點P，使得$\overrightarrow{AP}⊥\overrightarrow{BP}$．若存在，求出P點坐標；若不存在，說明理由．

Answer 1

分析 （Ⅰ）化簡g（x），求出g（x）的伴隨向量即可；
（Ⅱ）根據(jù)$f（x）=\frac{{4\sqrt{5}}}{5}$，結(jié)合x的范圍，求出sinx的值即可；
（Ⅲ）求出h（x）的解析式，表示出向量$\overrightarrow{AP}$，$\overrightarrow{BP}$，根據(jù)$\overrightarrow{AP}$•$\overrightarrow{BP}$=0，求出滿足條件的P的坐標即可．

解答 解：（Ⅰ）∵$g（x）=-sin（\frac{3π}{2}-x）+\sqrt{3}sin（π+x）$，
∴$g（x）=cosx-\sqrt{3}sinx=-\sqrt{3}sinx+cosx$
∴g（x）的伴隨向量$\overrightarrow{OM}=（-\sqrt{3}，1）$-----------------------------------------------------------（3分）
（Ⅱ）∵$向量\overrightarrow{ON}=（1，2）$的伴隨函數(shù)為f（x），且$f（x）=\frac{{4\sqrt{5}}}{5}$，
∴$f（x）=sinx+2cosx=\frac{{4\sqrt{5}}}{5}$
又∵$x∈（0，\frac{π}{2}）$且sin²x+cos²x=1，
∴$sinx=\frac{{2\sqrt{5}}}{5}$----------------------------------------------（7分）
（Ⅲ）由（Ⅰ）知：$g（x）=-\sqrt{3}sinx+cosx=-2sin（x-\frac{π}{6}）$（用余弦表示也可以）
將函數(shù)g（x）的圖象（縱坐標不變）橫坐標伸長為原來的2倍，得到函數(shù)$y=-2sin（\frac{1}{2}x-\frac{π}{6}）$
再把整個圖象向右平移$\frac{2π}{3}$個單位長得到h（x）的圖象，
得到$h（x）=-2sin（\frac{1}{2}（x-\frac{2π}{3}）-\frac{π}{6}）=-2sin（\frac{1}{2}x-\frac{π}{2}）=2cos\frac{1}{2}x$--------------------（8分）
設(shè)$P（x，2cos\frac{1}{2}x）$，∵A（-2，3）B（2，6），
∴$\overrightarrow{AP}=（x+2，2cos\frac{1}{2}x-3），\overrightarrow{BP}=（x-2，2cos\frac{1}{2}x-6）$
又∵$\overrightarrow{AP}⊥\overrightarrow{BP}$，∴$\overrightarrow{AP}•\overrightarrow{BP}=0$，
$\begin{array}{l}∴（x+2）（x-2）+（2cos\frac{1}{2}x-3）（2cos\frac{1}{2}x-6）=0\\{x^2}-4+4{cos^2}\frac{1}{2}x-18cos\frac{1}{2}x+18=0\end{array}$，
∴${（2cos\frac{1}{2}x-\frac{9}{2}）^2}=\frac{25}{4}-{x^2}$（*）-----------------------------------------（10分）
$\begin{array}{l}∵-2≤2cos\frac{1}{2}x≤2$，∴$-\frac{13}{2}≤2cos\frac{1}{2}x-\frac{9}{2}≤-\frac{5}{2}\\∴\frac{25}{4}≤{（2cos\frac{1}{2}x-\frac{9}{2}）^2}≤\frac{169}{4}\\ 又∵\frac{25}{4}-{x^2}≤\frac{25}{4}\end{array}$，
∴$當且僅當x=0時，{（2cos\frac{1}{2}x-\frac{9}{2}）^2}和\frac{25}{4}-{x^2}同時等于\frac{25}{4}$，
這時（*）式成立，
∴$在y=h（x）的圖象上存在點P（0，2），使得\overrightarrow{AP}⊥\overrightarrow{BP}$．--------------------（12分）

點評 本題考查了三角函數(shù)的圖象和性質(zhì)，考查了三角函數(shù)的誘導(dǎo)公式，訓(xùn)練了利用三角函數(shù)的單調(diào)性求函數(shù)的值域，體現(xiàn)了數(shù)形結(jié)合的解題思想方法，是中檔題．