12．已知函數(shù)f（x）=alnx（a＞0），e為自然對數(shù)的底數(shù)．
（1）若過點(diǎn)A（2，f（2））的切線斜率為2，求實(shí)數(shù)a的值；
（2）關(guān)于x的不等式$\frac{f（x）}{x-1}＞1$在區(qū)間（1，e）上恒成立，求實(shí)數(shù)a的取值范圍．

分析 （1）求函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，根據(jù)函數(shù)導(dǎo)數(shù)和切線斜率之間的關(guān)系即可求實(shí)數(shù)a的值；（2）利用參數(shù)分離法結(jié)合導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用即可得到結(jié)論．

解答 解答：（1）函數(shù)的f（x）的導(dǎo)數(shù)f′（x）=$\frac{a}{x}$（a＞0），
∵過點(diǎn)A（2，f（2））的切線斜率為2，
∴f′（2）=$\frac{a}{2}$=2，解得a=4；
（2）由$\frac{f（x）}{x-1}$＞1，得：$\frac{alnx+1-x}{x-1}$＞0，
令h（x）=alnx+1-x，則h′（x）=$\frac{a}{x}$-1，
令h′（x）＞0，解得x＜a，
當(dāng)a＞e時(shí)，h（x）在（1，e）是增函數(shù)，
所以h（x）＞h（1）=0，
當(dāng)1＜a≤e時(shí)，h（x）在（1，a）上遞增，（a，e）上遞減，
∴只需h（x）≥0，即a≥e-1；
當(dāng)a≤1時(shí)，h（x）在（1，e）上遞減，則需h（e）≥0，
∵h(yuǎn)（e）=a+1-e＜0不合題意；
綜上，a≥e-1．

點(diǎn)評 本題主要考查導(dǎo)數(shù)的綜合應(yīng)用，要求熟練掌握導(dǎo)數(shù)的幾何意義，函數(shù)單調(diào)性最值和導(dǎo)數(shù)之間的關(guān)系，考查學(xué)生的綜合應(yīng)用能力．

練習(xí)冊系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：填空題

12．在平行四邊形ABCD中，已知AB=2，AC=$\sqrt{7}$，AD=1．若點(diǎn)P，Q滿足$\overrightarrow{AC}$=3$\overrightarrow{AP}$，$\overrightarrow{BD}$=4$\overrightarrow{PQ}$，則$\overrightarrow{AP}$•$\overrightarrow{AQ}$的值為$\frac{19}{36}$．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：解答題

3．已知橢圓C：$\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1$（a＞b＞0）的焦距為4，其短軸的兩個(gè)端點(diǎn)與長軸的一個(gè)端點(diǎn)構(gòu)成正三角形．
（Ⅰ）求橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程；
（Ⅱ）設(shè)F為橢圓C的左焦點(diǎn)，M為直線x=-3上任意一點(diǎn)，過F作MF的垂線交橢圓C于點(diǎn)P，Q．證明：OM經(jīng)過線段PQ的中點(diǎn)N．（其中O為坐標(biāo)原點(diǎn)）

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：解答題

20．已知拋物線C：x2=4y與直線y=kx+1交于M，N兩點(diǎn)，其中點(diǎn)M位于點(diǎn)N的左側(cè)．
（1）當(dāng)k=0時(shí)，分別求拋物線C在點(diǎn)M和N處的切線方程；
（2）在y軸上是否存在點(diǎn)P，使得當(dāng)k變動時(shí)，總有∠OPM=∠OPN（O為坐標(biāo)原點(diǎn)）？若存在，求出P點(diǎn)坐標(biāo)，若不存在，請說明理由．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：解答題

7．在平面直角坐標(biāo)系xOy中，已知橢圓C的中心在原點(diǎn)O，兩焦點(diǎn)F1、F2在x軸上，上頂點(diǎn)B與F1、F2圍成一個(gè)正三角，且橢圓C經(jīng)過點(diǎn)（1，$\frac{3}{2}$）．
（1）求橢圓C的離心率e和標(biāo)準(zhǔn)方程；
（2）過右焦點(diǎn)F2的直線l將△BF1F2平分成面積相等的兩部分，求直線l被橢圓C截得的弦長．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：解答題

17．設(shè)函數(shù)f（x）=ln x+$\frac{m}{x}$，m∈R．
（1）當(dāng)m=e（e為自然對數(shù)的底數(shù)）時(shí)，求f（x）的極小值；
（2）當(dāng)m為何值時(shí)，g（x）=f′（x）-$\frac{x}{3}$有且只有一個(gè)零點(diǎn)；
（3）若對任意b＞a＞0，$\frac{f（b）-f（a）}{b-a}$＜1恒成立，求m的取值范圍．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：選擇題

4．關(guān)于函數(shù)$f（x）=3sin（2x-\frac{π}{3}）+1（x∈R）$，下列命題正確的是（　�。�
A．由f（x1）=f（x2）=1可得x1-x2是π的整數(shù)倍
B．y=f（x）的表達(dá)式可改寫成$y=3cos（2x+\frac{π}{6}）+1$
C．y=f（x）的圖象關(guān)于點(diǎn)$（\frac{π}{6}，1）$對稱
D．y=f（x）的圖象關(guān)于直線$x=\frac{3}{4}π$對稱

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：選擇題

1．已知函數(shù)f（x）=cos2x-sin2xsinφ-2cos2xsin2$\frac{φ}{2}$（0＜φ＜$\frac{π}{2}$）的圖象的一個(gè)對稱中心為（$\frac{π}{6}$，0），則下列說法不正確的是（　　）
A．直線x=$\frac{5}{12}$π是函數(shù)f（x）的圖象的一條對稱軸
B．函數(shù)f（x）在[0，$\frac{π}{6}$]上單調(diào)遞減
C．函數(shù)f（x）的圖象向右平移$\frac{π}{6}$個(gè)單位可得到y(tǒng)=cos2x的圖象
D．函數(shù)f（x）在x∈[0，$\frac{π}{2}$]上的最小值為-1

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：解答題

2．設(shè)函數(shù)f（x）=x2-ax+1（a∈R）
（Ⅰ）若對任意x1∈[1，2]，任意x2∈[3，6]，都有f（x1）≥f（x2），求a的取值范圍；
（Ⅱ）若不等式|f（x）|≥2x+1在[1，2]上恒成立，求a的取值范圍．

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