12．已知函數(shù)f（x）=alnx（a＞0），e為自然對數(shù)的底數(shù)．
（1）若過點A（2，f（2））的切線斜率為2，求實數(shù)a的值；
（2）關(guān)于x的不等式$\frac{f（x）}{x-1}＞1$在區(qū)間（1，e）上恒成立，求實數(shù)a的取值范圍．

分析 （1）求函數(shù)的導數(shù)，根據(jù)函數(shù)導數(shù)和切線斜率之間的關(guān)系即可求實數(shù)a的值；（2）利用參數(shù)分離法結(jié)合導數(shù)的應用即可得到結(jié)論．

解答 解答：（1）函數(shù)的f（x）的導數(shù)f′（x）=$\frac{a}{x}$（a＞0），
∵過點A（2，f（2））的切線斜率為2，
∴f′（2）=$\frac{a}{2}$=2，解得a=4；
（2）由$\frac{f（x）}{x-1}$＞1，得：$\frac{alnx+1-x}{x-1}$＞0，
令h（x）=alnx+1-x，則h′（x）=$\frac{a}{x}$-1，
令h′（x）＞0，解得x＜a，
當a＞e時，h（x）在（1，e）是增函數(shù)，
所以h（x）＞h（1）=0，
當1＜a≤e時，h（x）在（1，a）上遞增，（a，e）上遞減，
∴只需h（x）≥0，即a≥e-1；
當a≤1時，h（x）在（1，e）上遞減，則需h（e）≥0，
∵h（e）=a+1-e＜0不合題意；
綜上，a≥e-1．

點評 本題主要考查導數(shù)的綜合應用，要求熟練掌握導數(shù)的幾何意義，函數(shù)單調(diào)性最值和導數(shù)之間的關(guān)系，考查學生的綜合應用能力．

練習冊系列答案
相關(guān)習題

科目：高中數(shù)學 來源： 題型：填空題

12．在平行四邊形ABCD中，已知AB=2，AC=$\sqrt{7}$，AD=1．若點P，Q滿足$\overrightarrow{AC}$=3$\overrightarrow{AP}$，$\overrightarrow{BD}$=4$\overrightarrow{PQ}$，則$\overrightarrow{AP}$•$\overrightarrow{AQ}$的值為$\frac{19}{36}$．

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：解答題

3．已知橢圓C：$\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1$（a＞b＞0）的焦距為4，其短軸的兩個端點與長軸的一個端點構(gòu)成正三角形．
（Ⅰ）求橢圓C的標準方程；
（Ⅱ）設(shè)F為橢圓C的左焦點，M為直線x=-3上任意一點，過F作MF的垂線交橢圓C于點P，Q．證明：OM經(jīng)過線段PQ的中點N．（其中O為坐標原點）

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：解答題

20．已知拋物線C：x2=4y與直線y=kx+1交于M，N兩點，其中點M位于點N的左側(cè)．
（1）當k=0時，分別求拋物線C在點M和N處的切線方程；
（2）在y軸上是否存在點P，使得當k變動時，總有∠OPM=∠OPN（O為坐標原點）？若存在，求出P點坐標，若不存在，請說明理由．

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：解答題

7．在平面直角坐標系xOy中，已知橢圓C的中心在原點O，兩焦點F1、F2在x軸上，上頂點B與F1、F2圍成一個正三角，且橢圓C經(jīng)過點（1，$\frac{3}{2}$）．
（1）求橢圓C的離心率e和標準方程；
（2）過右焦點F2的直線l將△BF1F2平分成面積相等的兩部分，求直線l被橢圓C截得的弦長．

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：解答題

17．設(shè)函數(shù)f（x）=ln x+$\frac{m}{x}$，m∈R．
（1）當m=e（e為自然對數(shù)的底數(shù)）時，求f（x）的極小值；
（2）當m為何值時，g（x）=f′（x）-$\frac{x}{3}$有且只有一個零點；
（3）若對任意b＞a＞0，$\frac{f（b）-f（a）}{b-a}$＜1恒成立，求m的取值范圍．

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：選擇題

4．關(guān)于函數(shù)$f（x）=3sin（2x-\frac{π}{3}）+1（x∈R）$，下列命題正確的是（　�。�
A．由f（x1）=f（x2）=1可得x1-x2是π的整數(shù)倍
B．y=f（x）的表達式可改寫成$y=3cos（2x+\frac{π}{6}）+1$
C．y=f（x）的圖象關(guān)于點$（\frac{π}{6}，1）$對稱
D．y=f（x）的圖象關(guān)于直線$x=\frac{3}{4}π$對稱

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：選擇題

1．已知函數(shù)f（x）=cos2x-sin2xsinφ-2cos2xsin2$\frac{φ}{2}$（0＜φ＜$\frac{π}{2}$）的圖象的一個對稱中心為（$\frac{π}{6}$，0），則下列說法不正確的是（　　）
A．直線x=$\frac{5}{12}$π是函數(shù)f（x）的圖象的一條對稱軸
B．函數(shù)f（x）在[0，$\frac{π}{6}$]上單調(diào)遞減
C．函數(shù)f（x）的圖象向右平移$\frac{π}{6}$個單位可得到y(tǒng)=cos2x的圖象
D．函數(shù)f（x）在x∈[0，$\frac{π}{2}$]上的最小值為-1

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：解答題

2．設(shè)函數(shù)f（x）=x2-ax+1（a∈R）
（Ⅰ）若對任意x1∈[1，2]，任意x2∈[3，6]，都有f（x1）≥f（x2），求a的取值范圍；
（Ⅱ）若不等式|f（x）|≥2x+1在[1，2]上恒成立，求a的取值范圍．

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