Question

2．設(shè)函數(shù)f（x）=x²-ax+1（a∈R）
（Ⅰ）若對(duì)任意x₁∈[1，2]，任意x₂∈[3，6]，都有f（x₁）≥f（x₂），求a的取值范圍；
（Ⅱ）若不等式|f（x）|≥2x+1在[1，2]上恒成立，求a的取值范圍．

Answer 1

分析 （Ⅰ）由題意可將問題轉(zhuǎn)化為最值問題，由對(duì)稱軸分類討論即可．
（Ⅱ）去絕對(duì)值，分離參數(shù)，轉(zhuǎn)換為恒成立問題．

解答 解：（I） 由題意可知，對(duì)任意x₁∈[1，2]，任意x₂∈[3，6]，總有f（x₁）≥f（x₂），只需f（x₁）_min≥f（x₂）_max
f（x）=x²+ax+b的對(duì)稱軸是$x=\frac{a}{2}$
①當(dāng)$\frac{a}{2}≥\frac{3+6}{2}$，即a≥9時(shí)，f（x₁）_min=f（2）≥f（3）=f（x₂）_max，顯然成立
②當(dāng)$2≤\frac{a}{2}＜\frac{3+6}{2}$，即4≤a＜9時(shí)，f（x₁）_min=f（2），f（x₂）_max=f（6），要使得f（x₁）≥f（x₂），則需$\frac{a}{2}-2≥6-\frac{a}{2}$，即a≥8，故8≤a＜9
③當(dāng)$\frac{a}{2}＜2$時(shí)，即a＜4時(shí)，顯然f（2）＜f（3）不合題意，舍
綜上所述，a≥8．
（II）|x²-ax+1|≥2x+1，即x²-ax+1≥2x+1或x²-ax+1≤-2x-1
即ax≤x²-2x或ax≥x²+2x+2，又∵x∈[1，2]，故$a≤x-2或a≥x+\frac{2}{x}+2$
∵恒成立，∴$a≤{（x-2）_{min}}或a≥{（x+\frac{2}{x}+2）_{max}}$，
故a≤-1或a≥5

點(diǎn)評(píng) 本題考查最值問題，由對(duì)稱軸分類討論．分離參數(shù)，轉(zhuǎn)換為恒成立問題．