Question

7．在平面直角坐標系xOy中，已知橢圓C的中心在原點O，兩焦點F₁、F₂在x軸上，上頂點B與F₁、F₂圍成一個正三角，且橢圓C經過點（1，$\frac{3}{2}$）．
（1）求橢圓C的離心率e和標準方程；
（2）過右焦點F₂的直線l將△BF₁F₂平分成面積相等的兩部分，求直線l被橢圓C截得的弦長．

Answer 1

分析 （1）△BF₁F₂是正三角形，可求得2c=a，即可求得離心率e及b²=3c²，將（1，$\frac{3}{2}$）代入橢圓方程：$\frac{{x}^{2}}{4{c}^{2}}+\frac{{y}^{2}}{3{c}^{2}}=1$（c＞0），即可求得c的值，寫出橢圓方程；
（2）求出B和F₁的坐標及BF₁的斜率k_BF1，求得直線l的方程直線方程及M和N的坐標，代入橢圓方程，求得關于x的一元二次方程，利用韋達定理求得x₁+x₂，x₁•x₂表達式，即可求得丨MN丨．

解答 解：（1）由題意，設橢圓的標準方程為$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}+\frac{{y}^{2}}{^{2}}=1$（a＞b＞0）．
△BF₁F₂是正三角形，得F₁F₂=BF₁=BF₂，即2c=a，
∴e=$\frac{c}{a}$=$\frac{1}{2}$．…（2分）
b²=a²-c²=（2c）²-c²=3c²，
∴橢圓方程為$\frac{{x}^{2}}{4{c}^{2}}+\frac{{y}^{2}}{3{c}^{2}}=1$（c＞0）．
又橢圓C經過點（1，$\frac{3}{2}$），
∴$\frac{1}{4{c}^{2}}+\frac{\frac{9}{4}}{3{c}^{2}}=1$．解得c²=1．…（4分）
故橢圓C的標準方程為$\frac{{x}^{2}}{4}+\frac{{y}^{2}}{3}=1$．…（5分）
（2）由題可知，直線l過F₂（1，0），且與BF₁垂直．
∵B（0，$\sqrt{3}$），F(xiàn)₁（-1，0），
∴k_BF1=$\sqrt{3}$．
于是k₁=-$\frac{\sqrt{3}}{3}$，直線l的方程為y=-$\frac{\sqrt{3}}{3}$（x-1）．…（7分）
設直線l與橢圓C交于M，N兩點，且M（x₁，y₁），N（x₂，y₂）．
由$\left\{\begin{array}{l}{\frac{{x}^{2}}{4}+\frac{{y}^{2}}{3}=1}\\{y=-\frac{\sqrt{3}}{3}（x-1）}\end{array}\right.$消去y，可得13x²-8x-32=0．…（9分）
由韋達定理，x₁+x_2⁼$\frac{8}{13}$，x₁•x_2⁼-$\frac{32}{13}$，…（10分）
丨MN丨=$\sqrt{（{x}_{1}-{x}_{2}）^{2}+（{y}_{1}-{y}_{2}）^{2}}$=$\sqrt{（{x}_{1}-{x}_{2}）^{2}+[-\frac{\sqrt{3}}{3}（{x}_{1}-1）+\frac{\sqrt{3}}{3}（{x}_{2}-1]^{2}}$，
=$\sqrt{\frac{4}{3}（{x}_{1}-{x}_{2}）^{2}}$，…（11分）
=$\sqrt{\frac{4}{3}}$×$\sqrt{（{x}_{1}+{x}_{2}）^{2}-4{x}_{1}{x}_{2}}$，
=$\sqrt{\frac{4}{3}}$×$\sqrt{（\frac{8}{13}）^{2}-4×（-\frac{32}{13}）}$，
=$\frac{2}{\sqrt{3}}$×$\frac{24\sqrt{3}}{13}$，
=$\frac{48}{13}$．
∴丨MN丨=$\frac{48}{13}$．…（13分）

點評 本題考查橢圓的方程的求法，注意運用離心率公式，注意運用代入法和中點坐標公式，考查直線方程和橢圓方程聯(lián)立，運用兩點的距離公式，屬于中檔題．