Question

函數(shù)f（x）=sin2ωx+2

3

cos²ωx-

3

（x∈R），ω＞0，函數(shù)f（x）的最小正周期為π．
（1）求f（x）的解析式；
（2）已知g（x）的圖象和f（x）的圖象關(guān)于點(diǎn)M（

2π

3

，0）對(duì)稱(chēng)，求g（x）的單調(diào)增區(qū)間．

Answer 1

考點(diǎn)：由y=Asin（ωx+φ）的部分圖象確定其解析式,三角函數(shù)中的恒等變換應(yīng)用

專(zhuān)題：三角函數(shù)的求值,三角函數(shù)的圖像與性質(zhì)

分析：（Ⅰ）通過(guò)二倍角公式以及兩角和的正弦函數(shù)化簡(jiǎn)函數(shù)的表達(dá)式，通過(guò)周期公式即可求值；
（Ⅱ）通過(guò)函數(shù)g（x）和函數(shù)f（x）關(guān)于點(diǎn)（

2π

3

，0）對(duì)稱(chēng)，求出函數(shù)g（x）的表達(dá)式，利用余弦函數(shù)的單調(diào)減區(qū)間求出函數(shù)的單調(diào)增區(qū)間．

解答： 解：（1）∵f（x）=sin2ωx+2

3

cos²ωx-

3

=sin2ωx+2

3

×

1+cos2ωx

2

-

3

=2sin（2ωx+

π

3

）
∵T=

2π

2ω

=π
∴ω=1
∴f（x）=2sin（2x+

π

3

）
（2）（Ⅱ）因?yàn)楹瘮?shù)g（x）和函數(shù)f（x）關(guān)于點(diǎn)（

2π

3

，0）對(duì)稱(chēng)，
所以g（x）=0-f（

π

3

-x）=-2sin[2（

π

3

-x）+

π

3

]=-2sin2x
由不等式2kπ+

π

2

≤2x≤

3π

2

+2kπ，得到x∈[kπ+

π

4

，kπ+

3π

4

]，k∈Z
所以函數(shù)g（x）的單調(diào)增區(qū)間為[kπ+

π

4

，kπ+

3π

4

]，k∈Z．

點(diǎn)評(píng)：本題是中檔題，考查三角函數(shù)的化簡(jiǎn)求值，兩角和的正弦函數(shù)的應(yīng)用，函數(shù)的對(duì)稱(chēng)性，單調(diào)區(qū)間的求法，考查計(jì)算能力．