Question

集合A={x|（x+2）（x+1）（2x-1）＞0}，B={x|x²+ax+b≤2}，且A∪B={x|x＞-2}，A∩B={x|

1

2

＜x≤3}，求常數(shù)a、b的值．

Answer 1

考點(diǎn)：并集及其運(yùn)算

專題：集合

分析：由已知得A=（-2，-1）∪（

1

2

，+∞）}，設(shè)B={x|m≤x≤n}，其中m、n是方程x²+ax+b-2=0的兩個(gè)實(shí)數(shù)根且m≤n，由A∪B={x|x＞-2}，得

m≤-1 n≥ 1 2

，由A∩B={x|

1

2

＜x≤3}，得m=-1，n=3，根據(jù)韋達(dá)定理有：

m+n=-a=2 mn=b-2=-3

，由此求出a=-2，b=-1．

解答： 解：∵A={x|（x+2）（x+1）（2x-1）＞0}，
∴

x+2＞0 x+1＞0 2x-1＞0

，或

x+2＞0 x+1＜0 2x-1＜0

，或

2x-1＞0 x+1＜0 2x-1＜0

，
解得x＞

1

2

或-2＜x＜-1，
∴A=（-2，-1）∪（

1

2

，+∞）}
∵A∪B={x|x＞-2}
B={x|x²+ax+b≤2}={x|x²+ax+b-2≤0}，
∴設(shè)B={x|m≤x≤n}，其中m、n是方程x²+ax+b-2=0的兩個(gè)實(shí)數(shù)根且m≤n
∵A∪B={x|x＞-2}
∴

m≤-1 n≥ 1 2

，
∵A∩B={x|

1

2

＜x≤3}，
∴

m≥-1 n=3

，
∴m=-1，n=3
∴根據(jù)韋達(dá)定理有：

m+n=-a=2 mn=b-2=-3

，
解得a=-2，b=-1．

點(diǎn)評(píng)：本題考查常數(shù)值的求法，是中檔題，解題時(shí)要注意交集、并集性質(zhì)的合理運(yùn)用．