Question

7．已知函數f（x）=log_a$\frac{1-x}{x+1}$（a＞0，a≠1）．
（I）求函數的定義域；
（Ⅱ）判斷函數的奇偶性，并說明理由；
（Ⅲ）解不等式f（x）＞0．

Answer 1

分析 （Ⅰ）解不等式$\frac{1-x}{x+1}＞0$即可得出該函數的定義域；
（Ⅱ）可先判斷定義域關于原點對稱，然后求f（-x），便可得到f（-x）=-f（x），從而得出f（x）為奇函數；
（Ⅲ）討論a：0＜a＜1，和a＞1，根據對數函數的單調性，在每種情況下會得到一個關于x的不等式，解不等式即可得出x的范圍，即得出原不等式的解集．

解答 解：（Ⅰ）解$\frac{1-x}{x+1}＞0$，得-1＜x＜1；
∴函數的定義域為（-1，1）；
（Ⅱ）∵函數的定義域關于原點對稱；
且$f（-x）=lo{g}_{a}\frac{1+x}{1-x}=lo{g}_{a}（\frac{1-x}{1+x}）^{-1}=-lo{g}_{a}\frac{1-x}{1+x}=-f（x）$；
∴f（x）為奇函數；
（Ⅲ）∵f（x）＞0，①當0＜a＜1時，$0＜\frac{1-x}{1+x}＜1$；
解得0＜x＜1；
②當a＞1時，$\frac{1-x}{1+x}＞1$；
∴-1＜x＜0．

點評 考查函數定義域的概念及求法，對數的真數大于0，以及函數奇偶性的定義，分式不等式的解法，對數函數的單調性．