Question

12．已知：
sin²30°+sin²90°+sin²150°=$\frac{3}{2}$
sin²10°+sin²70°+sin²130°=$\frac{3}{2}$
sin²5°+sin²65°+sin²125°=$\frac{3}{2}$
通過觀察上述兩等式的規(guī)律，請你寫出一般性的命題，并給出的證明．

Answer 1

分析 分析已知條件中：sin²30°+sin²90°+sin²150°=$\frac{3}{2}$，sin²10°+sin²670°+sin²130°=$\frac{3}{2}$．可以發(fā)現(xiàn)等式左邊參加累加的三個均為正弦的平方，且三個角組成一個以60°為公差的等差數(shù)列，右邊是常數(shù)，由此不難得到結(jié)論．

解答 解：一般性的命題為${sin^2}（α-{60°}）+{sin^2}α+{sin^2}（α+{60°}）=\frac{3}{2}$．
證明：左邊=$\frac{1-cos（2α-120°）}{2}$+$\frac{1-cos2α}{2}$+$\frac{1-cps（2α+120°）}{2}$
=$\frac{3}{2}$-[cos（2α-120°）+cos2α+cos（2α+120°）]=$\frac{3}{2}$．

點評 本題考查歸納推理，歸納推理的一般步驟是：（1）通過觀察個別情況發(fā)現(xiàn)某些相同性質(zhì)；（2）從已知的相同性質(zhì)中推出一個明確表達(dá)的一般性命題（猜想），（3）論證．