Question

20．設a為實數(shù)，記函數(shù)f（x）=ax-ax³（x∈[$\frac{1}{2}$，1]）的圖象為C，如果任何斜率不小于1的直線與C都至多有一個公共點，則a的取值范圍是[-$\frac{1}{2}$，4]．

Answer 1

分析 求出函數(shù)的導數(shù)，由題意可得a-3ax²≥1在x∈[$\frac{1}{2}$，1]）最多只有一個解，討論a=0，a＞0，a＜0，運用參數(shù)分離和二次函數(shù)的值域求法，即可得到所求范圍．

解答 解：函數(shù)f（x）=ax-ax³的導數(shù)為f′（x）=a-3ax²，
由任何斜率不小于1的直線與C都至多有一個公共點，
可得a-3ax²≥1在x∈[$\frac{1}{2}$，1]）最多只有一個解，
當a=0時，顯然成立；
當a＞0時，即有$\frac{a-1}{3a}$≥x²，由x²∈[$\frac{1}{4}$，1]，
可得$\frac{a-1}{3a}$≤$\frac{1}{4}$，解得0＜a≤4；
當a＜0時，即有$\frac{a-1}{3a}$≤x²，由x²∈[$\frac{1}{4}$，1]，
可得$\frac{a-1}{3a}$≥1，解得-$\frac{1}{2}$≤a＜0．
綜上可得，a的范圍是[-$\frac{1}{2}$，4]．
故答案為：[-$\frac{1}{2}$，4]．

點評 本題考查導數(shù)的運用：求切線的斜率，考查轉(zhuǎn)化思想的運用，以及參數(shù)分離方法，考查運算求解能力，屬于中檔題．