Question

4．如圖，已知直四棱柱ABCD-A₁B₁C₁D₁的底面ABCD為菱形，且∠BCD=60°，P為AD₁的中點(diǎn)，Q為BC的中點(diǎn)
（1）求證：PQ∥平面D₁DCC₁；
（2）求證：DQ⊥平面B₁BCC₁．

Answer 1

分析 （1）過P作PM∥AD交D₁D于M，連接MC，則M為D₁D的中點(diǎn)，證明四邊形PMCQ是平行四邊形，可得PQ∥MC，即可證明PQ∥平面D₁DCC₁；
（2）證明B₁B⊥DQ，DQ⊥BC，利用線面垂直的判定定理證明：DQ⊥平面B₁BCC₁．

解答 證明：（1）過P作PM∥AD交D₁D于M，連接MC，則M為D₁D的中點(diǎn)，
∴PM∥AD，PM=$\frac{1}{2}$AD，
∵AD∥BC，Q為BC的中點(diǎn)，
∴PM∥QC，PM=QC，
∴四邊形PMCQ是平行四邊形，
∴PQ∥MC，
∵PQ?平面DCC₁D₁，MC?平面DCC₁D₁，
∴PQ∥平面DCC₁D₁．
（2）在直四棱柱ABCD-A₁B₁C₁D₁中，B₁B⊥平面ABCD，DQ?平面ABCD，
∴B₁B⊥DQ，
在菱形ABCD中，DC=BC，∠BCD=60°，∴△BCD為正三角形，故DB=DC，
∵Q為BC的中點(diǎn)，
∴DQ⊥BC，
∵B₁B∩BC=B，
∴DQ⊥平面B₁BCC₁．

點(diǎn)評(píng) 本題考查線面平行、垂直的判定定理，考查學(xué)生分析解決問題的能力，正確運(yùn)用線面平行、垂直的判定定理是關(guān)鍵．