Question

14．如圖，直四棱柱ABCD-A₁B₁C₁D₁中，底面為直角梯形，∠BAD=90°，且AB=BC=AA₁=10，AD=2DC=8．
（1）E為AB上一點，C₁E∥平面AA₁D₁D，確定E的位置；
（2）F為AA₁中點，求FC₁與側(cè)面BB₁C₁C所成角的正弦值．

Answer 1

分析 （1）由CC₁∥平面AA₁D₁D可知當(dāng)C₁E∥平面AA₁D₁D時，平面C₁CE∥平面AA₁D₁D，故而CE∥AD，于是AE=CD；
（2）以A為原點建立坐標(biāo)系，求出$\overrightarrow{F{C}_{1}}$和平面BB₁C₁C的法向量$\overrightarrow{n}$，則|cos＜$\overrightarrow{n}，\overrightarrow{F{C}_{1}}$＞|即為所求．

解答 解：（1）當(dāng)AE=CD=4時，C₁E∥平面AA₁D₁D，
連接CE．∵四邊形ABCD是直角梯形，∠BAD=90°，AB=BC=10，AD=2DC=8．
∴CD∥AB．又AE=CD，
∴四邊形ADCE是矩形，
∴CE∥AD，∵AD?平面AA₁D₁D，CE?平面AA₁D₁D，
∴CE∥平面AA₁D₁D，
同理可得：CC₁∥平面AA₁D₁D，又CE?平面CC₁E，CC₁?平面CC₁E，CE∩CC₁=C，
∴平面C₁CE∥平面AA₁D₁D，
∵C₁E?平面CC₁E，
∴C₁E∥平面AA₁D₁D．
（2）以A為原點，以AB，AD，AA₁為坐標(biāo)軸建立空間直角坐標(biāo)系A(chǔ)-xyz，如圖所示：
則F（0，0，5），B（10，0，0），C（4，8，0），B₁（10，0，10），C₁（4，8，10），
∴$\overrightarrow{F{C}_{1}}$=（4，8，5），$\overrightarrow{B{B}_{1}}$=（0，0，10），$\overrightarrow{BC}$=（-6，8，0），
設(shè)平面BB₁C₁C的法向量為$\overrightarrow{n}$=（x，y，z），則$\left\{\begin{array}{l}{\overrightarrow{n}•\overrightarrow{B{B}_{1}}=0}\\{\overrightarrow{n}•\overrightarrow{BC}=0}\end{array}\right.$，
∴$\left\{\begin{array}{l}{10z=0}\\{-6x+8y=0}\end{array}\right.$，令x=4，得$\overrightarrow{n}$=（4，3，0），
∴cos＜$\overrightarrow{n}$，$\overrightarrow{F{C}_{1}}$＞=$\frac{\overrightarrow{n}•\overrightarrow{F{C}_{1}}}{|\overrightarrow{n}||\overrightarrow{F{C}_{1}}|}$=$\frac{8\sqrt{105}}{105}$．
∴FC₁與側(cè)面BB₁C₁C所成角的正弦值為$\frac{8\sqrt{105}}{105}$．

點評 本題考查了線面平行的判定，空間向量的應(yīng)用與線面角的計算，屬于中檔題．