分析 (1)利用三角函數(shù)恒等變換的應(yīng)用化簡函數(shù)解析式可得f(x)=sin(2ωx+$\frac{π}{6}$),利用周期公式可求ω,可得函數(shù)解析式:f(x)=sin($\frac{1}{2}$x+$\frac{π}{6}$),令2kπ-$\frac{π}{2}$≤$\frac{1}{2}$x+$\frac{π}{6}$≤2kπ+$\frac{π}{2}$,k∈Z,可得f(x)的單調(diào)遞增區(qū)間.
(2)利用正弦定理化簡已知,整理得cosB=$\frac{1}{2}$,進(jìn)而解得B=$\frac{π}{3}$,利用已知求得范圍$\frac{π}{4}$<$\frac{1}{2}$A+$\frac{π}{6}$<$\frac{5π}{12}$,根據(jù)正弦函數(shù)的性質(zhì)可求f(A)的取值范圍.
解答 (本題滿分為12分)
解:(1)∵f(x)=($\sqrt{3}$xinωx+cosωx)cosωx-$\frac{1}{2}$
=$\frac{\sqrt{3}}{2}$sin2ωx+$\frac{1}{2}$cos2ωx
=sin(2ωx+$\frac{π}{6}$),…(3分)
∵最小正周期為4π,
∴ω=$\frac{2π}{4π}$=$\frac{1}{2}$,可得:f(x)=sin($\frac{1}{2}$x+$\frac{π}{6}$),…(4分)
∴令2kπ-$\frac{π}{2}$≤$\frac{1}{2}$x+$\frac{π}{6}$≤2kπ+$\frac{π}{2}$,k∈Z,可得:4kπ-$\frac{4π}{3}$≤x≤4kπ+$\frac{2π}{3}$,k∈Z,
∴f(x)的單調(diào)遞增區(qū)間為[4kπ-$\frac{4π}{3}$,4kπ+$\frac{2π}{3}$],k∈Z…(6分)
(2)∵(2a-c)cosB=bcosC,
∴(2sinA-sinC)cosB=sinBcosC,
整理得2sinAcosB=sinA,可得:cosB=$\frac{1}{2}$,解得:B=$\frac{π}{3}$,…(8分)
∵銳角三角形ABC,
∴$\left\{\begin{array}{l}{0<A<\frac{π}{2}}\\{0<\frac{2π}{3}-A<\frac{π}{2}}\end{array}\right.$,
∴$\frac{π}{6}$<A<$\frac{π}{2}$,…(10分)
∴$\frac{π}{4}$<$\frac{1}{2}$A+$\frac{π}{6}$<$\frac{5π}{12}$,可得:$\frac{\sqrt{2}}{2}$<f(A)<$\frac{\sqrt{6}+\sqrt{2}}{4}$.…(12分)
點評 本題主要考查了三角函數(shù)恒等變換的應(yīng)用,周期公式,正弦定理,正弦函數(shù)的圖象和性質(zhì)在解三角形中的綜合應(yīng)用,考查了轉(zhuǎn)化思想,屬于中檔題.
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A. | 充要條件 | B. | 充分不必要條件 | ||
C. | 必要不充分條件 | D. | 即不充分也不必要條件 |
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A. | -$\frac{\sqrt{3}}{2}$ | B. | $\frac{1}{2}$ | C. | -$\frac{1}{2}$ | D. | $\frac{\sqrt{3}}{2}$ |
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A. | 1 | B. | -1 | C. | 2 | D. | -2 |
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A. | [$\frac{π}{6}$,$\frac{π}{2}$] | B. | [$\frac{π}{3}$,$\frac{π}{2}$] | C. | [$\frac{π}{6}$,$\frac{π}{3}$] | D. | [$\frac{π}{6}$,$\frac{2π}{3}$] |
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