已知f(x)=2sin(x-
π
3
)cos(x-
π
3
)+2
3
cos2(x-
π
3
)-
3

(1)求f(x)的最大值及取得最大值時(shí)相應(yīng)的x的值;
(2)若函數(shù)y=f(2x)-a在區(qū)間[0,
π
4
]
上恰有兩上零點(diǎn)x1,x2,求tan(x1+x2)的值.
分析:利用三角公式化簡(jiǎn)函數(shù)f(x)=2sin(2x-
π
3

(1)結(jié)合正弦函數(shù)的性質(zhì),把2x-
π
3
看成y=sinx中的“x“分別求解
(2)代入可得y=2sin(4x-
π
3
),換元 t=4x-
π
3
,從而可得 y=2sint,t∈[-
π
3
,
3
]
,結(jié)合正弦函數(shù)的圖象可求
解答:解(1)cos(x-
π
3
)+2
3
cos2(x-
π
3
)-
3
=sin(2x-
3
)+
3
[1+cos(2x-
3
)]-
3

═sin(2x-120°)+
3
cos(2x-120°)=2sin(2x-60°)
(5分)
∴f(x)的最大值為2,此時(shí)2x-
π
3
=
π
2
+2kπ,k∈Z
,即x=
12
+kπ,k∈Z
(7分)
(2)f(2x)=2sin(4x-
π
3
)

t=4x-
π
3
,∵x∈[0,
π
4
]
,∴t∈[-
π
3
,
3
]

設(shè)t1,t2是函數(shù)y=2sint-a的兩個(gè)相應(yīng)零點(diǎn)(即t1=4x1-
π
3
,t2=4x2-
π
3

由y=2sint圖象性質(zhì)知t1+t2=π,即4x1-
π
3
+4x2-
π
3
(10分)
x1+x2=
π
4
+
π
6
,tan(x1+x2)=2+
3
(14分)
點(diǎn)評(píng):本題綜合考查了兩角和與差的三角公式、二倍角公式、三角函數(shù)的最值(最值的求解一般是整體思想),利用正弦函數(shù)的圖象求解值的問(wèn)題,體現(xiàn)了函數(shù)中的數(shù)形結(jié)合的數(shù)學(xué)思想在解題中的運(yùn)用.
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相關(guān)習(xí)題

科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:

已知f(x)=2sin(x-
π
4
)•cos(x-
π
4
)+sin2x
,則函數(shù)f(x)得最小正周期是
 

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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:

已知f(x)=
2
sin(2x-
π
4
)
,x ∈[
π
4
4
]

(Ⅰ)用五點(diǎn)作圖法作出f(x)的圖象,并指出函數(shù)的單調(diào)區(qū)間和值域;
(Ⅱ)若f(x)=a有兩個(gè)不同的實(shí)數(shù)根,請(qǐng)你求出這兩根之和.

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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:

已知f(x)=2sin(2x-
π
6
)-m
x∈[0,
π
2
]
上有兩個(gè)不同的零點(diǎn)x1,x2,則m取值范圍是
[1,2)
[1,2)
,x1+x2=
3
3

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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:

已知f(x)=2sin(
π
6
-2x)+a

(1)求f(x)的單調(diào)遞增區(qū)間;
(2)若f(x)的定義域?yàn)?span id="uqkzhko" class="MathJye">(-
π
4
,0)時(shí),最大值為3,求a的值.

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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:

精英家教網(wǎng)已知f(x)=2sin(2x-
π
3
)+1

(1)求f(x)的單調(diào)增區(qū)間;
(2)求f(x)圖象的對(duì)稱軸的方程和對(duì)稱中心的坐標(biāo);(3)在給出的直角坐標(biāo)系中,請(qǐng)畫(huà)出f(x)在區(qū)間[-
π
2
,
π
2
]上的圖象.

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