已知f(x)=2sin(x-
π
3
)cos(x-
π
3
)+2
3
cos2(x-
π
3
)-
3
．
（1）求f（x）的最大值及取得最大值時(shí)相應(yīng)的x的值；
（2）若函數(shù)y=f（2x）-a在區(qū)間[0，
π
4
]上恰有兩上零點(diǎn)x1，x2，求tan（x1+x2）的值．
分析：利用三角公式化簡(jiǎn)函數(shù)f（x）=2sin（2x-
π
3
）
（1）結(jié)合正弦函數(shù)的性質(zhì)，把2x-
π
3
看成y=sinx中的“x“分別求解
（2）代入可得y=2sin（4x-
π
3
），換元 t=4x-
π
3
，從而可得 y=2sint，t∈[-
π
3
，
2π
3
]，結(jié)合正弦函數(shù)的圖象可求
解答：解（1）cos(x-
π
3
)+2
3
cos2(x-
π
3
)-
3
=sin(2x-
2π
3
)+
3
[1+cos(2x-
2π
3
)]-
3

═sin（2x-120°）+
3
cos（2x-120°）=2sin（2x-60°）
（5分）
∴f（x）的最大值為2，此時(shí)2x-
π
3
=
π
2
+2kπ，k∈Z，即x=
5π
12
+kπ，k∈Z（7分）
（2）f(2x)=2sin(4x-
π
3
)
令t=4x-
π
3
，∵x∈[0，
π
4
]，∴t∈[-
π
3
，
2π
3
]
設(shè)t1，t2是函數(shù)y=2sint-a的兩個(gè)相應(yīng)零點(diǎn)（即t1=4x1-
π
3
，t2=4x2-
π
3
）
由y=2sint圖象性質(zhì)知t1+t2=π，即4x1-
π
3
+4x2-
π
3
=π（10分）
∴x1+x2=
π
4
+
π
6
，tan(x1+x2)=2+
3
（14分）
點(diǎn)評(píng)：本題綜合考查了兩角和與差的三角公式、二倍角公式、三角函數(shù)的最值（最值的求解一般是整體思想），利用正弦函數(shù)的圖象求解值的問(wèn)題，體現(xiàn)了函數(shù)中的數(shù)形結(jié)合的數(shù)學(xué)思想在解題中的運(yùn)用．
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相關(guān)習(xí)題

科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

已知f(x)=2sin(x-
π
4
)•cos(x-
π
4
)+sin2x，則函數(shù)f（x）得最小正周期是
 
．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

已知f(x)=
2
sin(2x-
π
4
)，x ∈[
π
4
，
5π
4
]
（Ⅰ）用五點(diǎn)作圖法作出f（x）的圖象，并指出函數(shù)的單調(diào)區(qū)間和值域；
（Ⅱ）若f（x）=a有兩個(gè)不同的實(shí)數(shù)根，請(qǐng)你求出這兩根之和．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

已知f(x)=2sin(2x-
π
6
)-m在x∈[0，
π
2
]上有兩個(gè)不同的零點(diǎn)x1，x2，則m取值范圍是
[1，2）
[1，2）
，x1+x2=
2π
3
2π
3
．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

已知f(x)=2sin(
π
6
-2x)+a．
（1）求f（x）的單調(diào)遞增區(qū)間；
（2）若f（x）的定義域?yàn)?span id="saaexez" class="MathJye">(-
π
4
，0)時(shí)，最大值為3，求a的值．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

精英家教網(wǎng)已知f(x)=2sin(2x-
π
3
)+1．
（1）求f（x）的單調(diào)增區(qū)間；
（2）求f（x）圖象的對(duì)稱(chēng)軸的方程和對(duì)稱(chēng)中心的坐標(biāo)；（3）在給出的直角坐標(biāo)系中，請(qǐng)畫(huà)出f（x）在區(qū)間[-
π
2
，
π
2
]上的圖象．

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