分析 (1)首先可判斷an>0恒成立;從而化簡可得an+1-an=2an+1>0,從而證明;
(2)可求得當(dāng)n≥2時,an≥4,從而可得1<2an+1≤1+24=32,從而可依次列出1<a3-a2≤32,1<a4-a3≤32,1<a5-a4≤32,…,從而利用累加法證明.
解答 證明:(1)∵a1=1,an•an+1=an2+an+2,
∴an>0恒成立;
∴an+1=an+2an+1,
∴an+1-an=2an+1>0,
∴an+1>an;
(2)∵a1=1,
∴a2=1+21+1=4,
又∵an+1>an,
∴當(dāng)n≥2時,an≥4,
故1<2an+1≤1+24=32,
故1<a3-a2≤32,
1<a4-a3≤32,
1<a5-a4≤32,
…
1<an-an-1≤32,
累加得,
n-2<an-a2≤32(n-2),
即n-2+4<an≤32(n-2)+4,
故n+2≤an≤32n+1.
點評 本題考查了數(shù)列的性質(zhì)的判斷與應(yīng)用,同時考查了放縮法證明不等式的方法應(yīng)用.
科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:填空題
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A. | (1,√2) | B. | (√2,+∞) | C. | (1,2) | D. | (2,+∞) |
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A. | -\frac{1}{4} | B. | \frac{1}{4} | C. | -4 | D. | 4 |
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A. | 3 | B. | 1 | C. | 0 | D. | -1 |
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