Processing math: 80%
10.已知數(shù)列{an}滿足a1=1,an•an+1=an2+an+2(n∈N*).
(1)證明:an+1>an;
(2)證明:當(dāng)n≥2時,n+2≤an32n+1.

分析 (1)首先可判斷an>0恒成立;從而化簡可得an+1-an=2an+1>0,從而證明;
(2)可求得當(dāng)n≥2時,an≥4,從而可得1<2an+1≤1+24=32,從而可依次列出1<a3-a232,1<a4-a332,1<a5-a432,…,從而利用累加法證明.

解答 證明:(1)∵a1=1,an•an+1=an2+an+2,
∴an>0恒成立;
∴an+1=an+2an+1,
∴an+1-an=2an+1>0,
∴an+1>an;
(2)∵a1=1,
∴a2=1+21+1=4,
又∵an+1>an,
∴當(dāng)n≥2時,an≥4,
故1<2an+1≤1+24=32
故1<a3-a232,
1<a4-a332,
1<a5-a432,

1<an-an-132,
累加得,
n-2<an-a232(n-2),
即n-2+4<an32(n-2)+4,
故n+2≤an32n+1.

點評 本題考查了數(shù)列的性質(zhì)的判斷與應(yīng)用,同時考查了放縮法證明不等式的方法應(yīng)用.

練習(xí)冊系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:填空題

20.已知雙曲線x2a2-y22=1(a>0,b>0)的左右焦點分別為F1、F2,實軸的兩個端點分別為A1、A2,虛軸的兩個端點分別為B1、B2,若在線段B1F2上,存在兩點M、N(點M、N異于B1、F2),使得∠A1MA2=∠A1NA2=90°,則雙曲線離心率e的取值范圍為2<e<5+12

查看答案和解析>>

科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:選擇題

1.已知點F是雙曲線x2a2-y22=1(a>0,b>0)的左焦點,點E是該雙曲線的右頂點,過點F且垂直于x軸的直線與雙曲線交于A,B兩點,若△ABE是鈍角三角形,則該雙曲線的離心率的取值范圍是( �。�
A.(1,2B.2,+∞)C.(1,2)D.(2,+∞)

查看答案和解析>>

科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:選擇題

18.已知tanα=1,那么\frac{sinα-2cosα}{3sinα+cosα}=( �。�
A.-\frac{1}{4}B.\frac{1}{4}C.-4D.4

查看答案和解析>>

科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:選擇題

5.已知函數(shù)f(x)=sin2x+4sinx+3(x∈R),則f(x)的最小值為( �。�
A.3B.1C.0D.-1

查看答案和解析>>

科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:填空題

15.3名教師和7名學(xué)生排成一排照相,則3名教師相鄰的概率為\frac{1}{15}

查看答案和解析>>

科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:填空題

2.若二次函數(shù)y=x2+tx+t+3的函數(shù)值恒大于0,則實數(shù)t的取值范圍是[-2,6].

查看答案和解析>>

科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:解答題

19.已知點A(x1,y1),B(x2,y2),分別求A,B關(guān)于點M(x0,y0)的中心對稱點A′,B′的坐標(biāo).

查看答案和解析>>

科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:解答題

20.在△ABC中,內(nèi)角A、B、C所對的邊分別為a,b,c,已知c=\sqrt{3},C=\frac{π}{3},sinA=\frac{4}{5},求△ABC的面積.

查看答案和解析>>

同步練習(xí)冊答案