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20.在△ABC中,內(nèi)角A、B、C所對(duì)的邊分別為a,b,c,已知c=3,C=\frac{π}{3},sinA=\frac{4}{5},求△ABC的面積.

分析 由正弦定理可得a值,進(jìn)而由邊角關(guān)系和同角三角函數(shù)基本關(guān)系可得cosA,可得sinB,代入三角形的面積公式計(jì)算可得.

解答 解:∵在△ABC中,c=\sqrt{3},C=\frac{π}{3},sinA=\frac{4}{5}
∴a=\frac{csinA}{sinC}=\frac{\sqrt{3}×\frac{4}{5}}{\frac{\sqrt{3}}{2}}=\frac{8}{5}\sqrt{3}=c,∴A<C=\frac{π}{3}
∴cosA=\sqrt{1-si{n}^{2}A}=\frac{3}{5},
∴sinB=sin(A+C)=\frac{1}{2}sinA+\frac{\sqrt{3}}{2}cosA
=\frac{1}{2}×\frac{4}{5}+\frac{\sqrt{3}}{2}×\frac{3}{5}=\frac{4+3\sqrt{3}}{10}
∴△ABC的面積S=\frac{1}{2}acsinB=\frac{1}{2}×\frac{8}{5}×\sqrt{3}×\frac{4+3\sqrt{3}}{10}=\frac{8\sqrt{3}+18}{25}

點(diǎn)評(píng) 本題考查正余弦定理解三角形,涉及三角形的面積公式,屬中檔題.

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