Question

9．已知二次函數f（x）=ax²+bx（a，b為常數，且a≠0）滿足條件：f（-x+5）=f（x-3）且方程f（x）=x有等根．
（1）求f（x）的表達式；
（2）是否存在實數m，n（m＜n）使f（x）的定義域和值域分別是[m，n]和[3m，3n]，如果存在，求出m，n的值；如果不存在，說明理由．

Answer 1

分析 （1）利用函數的對稱軸以及方程的根的關系，即可求解函數的表達式．
（2）求出函數的對稱軸，通過m，n與對稱軸討論，結合函數的定義域與值域，列出方程求解即可．

解答 解：∵函數滿足f（-x+5）=f（x-3），∴$f（x）的對稱軸為x=1∴-\frac{2a}=1$，
因為方程f（x）=x有等根，即ax²+bx-x=0，有重根，∴△=0，可得a=$-\frac{1}{2}$，
可得b=1，
∴二次函數f（x）=-$\frac{1}{2}$x²+x．
（2）二次函數f（x）=-$\frac{1}{2}$x²+x．的對稱軸為x=1，
當m＜n＜1時，$\left\{\begin{array}{l}{f（m）=3m}\\{f（n）=3n}\end{array}\right.$，∴$\left\{\begin{array}{l}{n=0}\\{m=-4}\end{array}\right.$；
當1＜m＜n時，$\left\{\begin{array}{l}{f（m）=3n}\\{f（n）=3m}\end{array}\right.$，方程無解；
當n＞1＞m時，f（1）=$\frac{1}{2}$=3n，無解；
綜上所述，n=0，m=-4．

點評 本題考查二次函數的簡單性質的應用，函數的對稱軸與函數的定義域與值域的關系，考查分類討論思想以及轉化思想的應用，考查計算能力．