【題目】如圖1,已知等邊的邊長(zhǎng)為3,點(diǎn),分別是邊,上的點(diǎn),且,.如圖2,將沿折起到的位置.
(1)求證:平面平面;
(2)給出三個(gè)條件:①;②二面角大小為;③.在這三個(gè)條件中任選一個(gè),補(bǔ)充在下面問題的條件中,并作答:在線段上是否存在一點(diǎn),使直線與平面所成角的正弦值為,若存在,求出的長(zhǎng);若不存在,請(qǐng)說明理由.注:如果多個(gè)條件分別解答,按第一個(gè)解答給分
【答案】(1)見解析(2)見解析
【解析】
(1)要證明平面平面,只需證明平面即可;
(2)選擇條件①②③之一,均需建系,算得向量以及平面的法向量,設(shè)直線與平面所成角為,利用計(jì)算即可.
(1)由已知得,,, ,
解得,故,∴,
∴,,又∵,
∴平面,平面,∴平面平面.
(2)(。┤粲脳l件①,由(1)得,和是兩條相交直線,∴平面.
以為原點(diǎn),,,分別為軸建立空間直角坐標(biāo)系.
則,設(shè),其中,則.
平面的法向量為.設(shè)直線與平面所成角為,
則,解得,
所以不存在滿足條件.
(ⅱ)若用條件②二面角大小為,由(1)得是二面角的平面角,
∴.過作,垂足為,則平面.
在平面中,作,點(diǎn)在的右側(cè).
以為原點(diǎn),,,分別為軸建立空間直角坐標(biāo)系.
則,設(shè),其中,則.
平面的法向量為.設(shè)直線與平面所成角為,
則,
解得或(舍去),所以存在滿足條件,這時(shí).
(ⅲ)若用條件③,在中,由余弦定理得:
,即,
所以,故.
過作,垂足為,則平面.
同(ⅱ)以為原點(diǎn),,,分別為軸建立空間直角坐標(biāo)系.
則,設(shè),其中,則.
平面的法向量為.設(shè)直線與平面所成角為,
則,.
解得,所以不存在滿足條件.
【點(diǎn)晴】
本題考查面面垂直的判定定理,以及利用向量法求線面角的問題,考查學(xué)生數(shù)學(xué)運(yùn)算能力,空間想象能力,是一道中檔題.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】在日常生活中,石子是我們經(jīng)常見到的材料,比如在各種建筑工地或者建材市場(chǎng)上常常能看到堆積如山的石子,它的主要成分是碳酸鈣.某雕刻師計(jì)劃在底面邊長(zhǎng)為2m、高為4m的正四棱柱形的石料中,雕出一個(gè)四棱錐和球M的組合體,其中O為正四棱柱的中心,當(dāng)球的半徑r取最大值時(shí),該雕刻師需去除的石料約重___________kg.(最后結(jié)果保留整數(shù),其中,石料的密度,質(zhì)量)
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】在直角坐標(biāo)系xOy中,直線l過點(diǎn)且傾斜角為.以坐標(biāo)原點(diǎn)O為極點(diǎn),x軸的正半軸為極軸建立極坐標(biāo)系,已知曲線C的極坐標(biāo)方程為,l與C交于M,N兩點(diǎn).
(1)求C的直角坐標(biāo)方程和的取值范圍;
(2)求MN中點(diǎn)H的軌跡的參數(shù)方程.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】天上有些恒星的亮度是會(huì)變化的,其中一種稱為造父(型)變星,本身體積會(huì)膨脹收縮造成亮度周期性的變化.第一顆被描述的經(jīng)典造父變星是在1784年.
上圖為一造父變星的亮度隨時(shí)間的周期變化圖,其中視星等的數(shù)值越小,亮度越高,則此變星亮度變化的周期、最亮?xí)r視星等,分別約是( )
A.5.5,3.7B.5.4,4.4C.6.5,3.7D.5.5,4.4
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】現(xiàn)有某種不透明充氣包裝的袋裝零食,每袋零食附贈(zèng)玩具A,B,C中的一個(gè).對(duì)某零售店售出的100袋零食中附贈(zèng)的玩具類型進(jìn)行追蹤調(diào)查,得到以下數(shù)據(jù):
BBABC ACABA AAABC BABAA CAAAB
ABCCC BCBBC CABCA BACAB BCBCB
BCCCA BCCAA BCCCB ACCBB BACAB
ACCAB BBBAA CABCA BCBBC CABCA
(1)能否認(rèn)為購(gòu)買一袋該零食,獲得玩具A,B,C的概率相同?請(qǐng)說明理由;
(2)假設(shè)每袋零食隨機(jī)附贈(zèng)玩具A,B,C是等可能的,某人一次性購(gòu)買該零食3袋,求他能從這3袋零食中集齊玩具A,B及C的概率.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】如圖所示,已知橢圓E經(jīng)過點(diǎn),對(duì)稱軸為坐標(biāo)軸,焦點(diǎn),在x軸上,離心率e.直線l是的平分線,則橢圓E的方程是_____,l所在的直線方程是_____.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】已知拋物線與直線只有一個(gè)公共點(diǎn),點(diǎn)是拋物線上的動(dòng)點(diǎn).
(1)求拋物線的方程;
(2)①若,求證:直線過定點(diǎn);
②若是拋物線上與原點(diǎn)不重合的定點(diǎn),且,求證:直線的斜率為定值,并求出該定值.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】函數(shù)的圖象如圖所示,先將函數(shù)圖象上所有點(diǎn)的橫坐標(biāo)變?yōu)樵瓉淼?/span>6倍,縱坐標(biāo)不變,再將所得函數(shù)的圖象向左平移個(gè)單位長(zhǎng)度,得到函數(shù)的圖象,下列結(jié)論正確的是( )
A.函數(shù)是奇函數(shù)B.函數(shù)在區(qū)間上是增函數(shù)
C.函數(shù)圖象關(guān)于對(duì)稱D.函數(shù)圖象關(guān)于直線對(duì)稱
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