Question

10．已知函數(shù)f（x）=2cosxsin（x+$\frac{π}{3}$）-$\sqrt{3}$sin²x+sinxcosx．
（1）求函數(shù)f（x）的單調(diào)遞增區(qū)間；
（2）在給出的直角坐標(biāo)系中，畫出函數(shù)f（x）在[-$\frac{π}{2}$，$\frac{π}{2}$]上的圖象．

Answer 1

分析 （1）利用兩角和公式和二倍角公式對函數(shù)解析式進行化簡整理求得函數(shù)的解析式，進而根據(jù)正弦函數(shù)的單調(diào)性求得單調(diào)增區(qū)間；
（2）利用左加右減，上加下減的原則，將函數(shù)y=sinx縱坐標(biāo)不變，橫坐標(biāo)縮小到$\frac{1}{2}$倍得到y(tǒng)=sin2x，再向左平移$\frac{π}{6}$個單位得到函數(shù)y=sin（2x+$\frac{π}{3}$），橫坐標(biāo)不變，縱坐標(biāo)擴大2倍得到y(tǒng)=2sin（2x+$\frac{π}{3}$），即可得出結(jié)論．

解答 解：（1）f（x）=2cosxsin（x+$\frac{π}{3}$）-$\sqrt{3}$sin²x+sinxcosx
=2cosx（sinxcos$\frac{π}{3}$+cosxsin$\frac{π}{3}$）-$\sqrt{3}$sin²x+$\frac{1}{2}$sin2x
=2sin（2x+$\frac{π}{3}$），
當(dāng)2kπ-$\frac{π}{2}$≤2x+$\frac{π}{3}$≤2kπ+$\frac{π}{2}$時，即kπ-$\frac{5π}{12}$≤x≤kπ+$\frac{5π}{12}$，函數(shù)單調(diào)增，
∴函數(shù)的單調(diào)增區(qū)間為：[kπ-$\frac{5π}{12}$，kπ+$\frac{5π}{12}$]（k∈Z）．
（2）由函數(shù)y=sinx縱坐標(biāo)不變，橫坐標(biāo)縮小到$\frac{1}{2}$倍得到y(tǒng)=sin2x，再向左平移$\frac{π}{6}$個單位得到函數(shù)y=sin（2x+$\frac{π}{3}$），橫坐標(biāo)不變，縱坐標(biāo)擴大2倍得到y(tǒng)=2sin（2x+$\frac{π}{3}$），

點評 本題主要考查了三角函數(shù)的基本性質(zhì)和三角函數(shù)的圖象變換．考查了學(xué)生對基礎(chǔ)知識點綜合運用．