Question

2．某超市要將甲、乙兩種大小不同的袋裝大米分裝成A，B兩種規(guī)格的小袋，每袋大米可同時分得A，B兩種規(guī)格的小袋大米的袋數如下表所示：

規(guī)格類型 袋裝大米類型	A	B
甲	2	1
乙	1	3

已知庫房中現有甲、乙兩種袋裝大米的數量分別為5袋和10袋，市場急需A，B兩種規(guī)格的成品數分別為15袋和27袋．
（Ⅰ）問分甲、乙兩種袋裝大米各多少袋可得到所需A，B兩種規(guī)格的成品數，且使所用的甲、乙兩種袋裝大米的袋數最少？（要求畫出可行域）
（Ⅱ）若在可行域的整點中任意取出一解，求其恰好為最優(yōu)解的概率．

Answer 1

分析 （Ⅰ）設需分甲、乙兩種袋裝大米的袋數分別為x、y，所用的袋裝大米的總袋數為 z，建立目標函數和約束條件，利用線性規(guī)劃的知識進行求解．
（Ⅱ）根據古典概型的概率公式進行計算即可．

解答 解：（Ⅰ）設需分甲、乙兩種袋裝大米的袋數分別為x、y，所用的袋裝大米的總袋數為 z
則 $\left\{\begin{array}{l}{2x+y≥15}\\{x+3y≥27}\\{0≤x≤5}\\{0≤y≤10}\end{array}\right.$；（3分）
z=x+y，（x，y為整數）．（4分）
作出可行域D如圖．（6分）
從圖中可知，可行域D的所有整數點為：（3，9），（3，10），（4，8），（4，9），（4，10），（5，8），（5，9），（5，10），
共8點．（8分）
因為目標函數為 z=x+y，（x，y為整數），所以在一組平行直線x+y=t（t為參數）中，
經過可行域內的整點且與原點距離最近的直線是x+y=12，其經過的整點是（3，9）和（4，8），它們都是最優(yōu)解．（9分）
所以，需分甲、乙兩種袋裝大米的袋數分別為 袋、袋或 袋、袋可使所用的袋裝大米的袋數最少．（10分）
（Ⅱ）由（Ⅰ）可知可行域內的整點個數為8，而最優(yōu)解有兩個，所以所求的概率為P=$\frac{2}{8}$=$\frac{1}{4}$．（12分）

點評 本題主要考查線性規(guī)劃的應用問題以及古典概型的計算，利用數形結合是解決本題的關鍵．