Question

16．已知點(diǎn)P為雙曲線$\frac{{x}^{2}}{16}$-$\frac{{y}^{2}}{9}$=1右支上一點(diǎn)，F(xiàn)₁、F₂分別為雙曲線的左右焦點(diǎn)，M為△F₁F₂P的內(nèi)心，若S_△F1MP=S_△F2MP+4，則△F₁F₂M的面積為（　　）

• A． 5
• B． 6
• C． 2$\sqrt{7}$
• D． 10

Answer 1

分析 P為雙曲線$\frac{{x}^{2}}{16}$-$\frac{{y}^{2}}{9}$=1右支上一點(diǎn)，|PF₁|-|PF₂|=8，|F₁F₂|=10，由S_△F1MP=$\frac{1}{2}$|PF₁|•r，S_△F2MP=$\frac{1}{2}$|PF₂|•r，則$\frac{1}{2}$|PF₁|•r=$\frac{1}{2}$|PF₂|•r+4，即可求得△PF₁F₂的內(nèi)切圓半徑為r，由${S}_{{F}_{1}{F}_{2}M}$=$\frac{1}{2}$•2c•r即可求得△F₁F₂M的面積．

解答 解：由雙曲線方程可得：$\frac{{x}^{2}}{16}$-$\frac{{y}^{2}}{9}$=1，焦點(diǎn)在x軸上，實(shí)軸長(zhǎng)為2a=8，虛軸長(zhǎng)為2b=6，焦距2c=10，
設(shè)△PF₁F₂的內(nèi)切圓半徑為r，由雙曲線的定義得|PF₁|-|PF₂|=8，|F₁F₂|=10，
S_△F1MP=$\frac{1}{2}$|PF₁|•r，S_△F2MP=$\frac{1}{2}$|PF₂|•r，
由S_△F1MP=S_△F2MP+4，
∴$\frac{1}{2}$|PF₁|•r=$\frac{1}{2}$|PF₂|•r+4，解得：r=1，
∴${S}_{{F}_{1}{F}_{2}M}$=$\frac{1}{2}$•2c•r=c•r=5，
故選A．

點(diǎn)評(píng) 本題考查雙曲線的定義和簡(jiǎn)單性質(zhì)，考查三角形內(nèi)接圓的性質(zhì)，利用待定系數(shù)法求出參數(shù)的值，考查計(jì)算能力，屬于中檔題．