Question

【題目】已知x，y∈R，m+n=7，f（x）=|x﹣1|﹣|x+1|．
（1）解不等式f（x）≥（m+n）x；
（2）設max{a，b}= ，求F=max{|x2﹣4y+m|，|y2﹣2x+n|}的最小值．

Answer 1

【答案】
（1）解：不等式f（x）≥（m+n）x等價于|x﹣1|﹣|x+1|﹣7x≥0，

當x≤﹣1時，不等式可化為2﹣7x≥0，解得x≤ ，又x≤﹣1，故x≤﹣1；

當x≥1時，不等式可化為﹣2﹣7x≥0，解得x≤﹣ ，舍去；

當﹣1＜x＜1時，不等式可化為﹣2x﹣7x≥0，解得x≤0，又﹣1＜x＜1，故﹣1＜x≤0．

綜上，不等式的解集為{x|x≤0}

（2）解：∵F=max{|x2﹣4y+m|，|y2﹣2x+n|}，

∴F≥|x2﹣4y+m|，F≥|y2﹣2x+n|，

兩式相加得：2F≥|x2﹣4y+m|+|y2﹣2x+n|≥|x2+y2﹣2x﹣4y+7|=|（x﹣1）2+（y﹣2）2+2|≥2，

∴F≥1．當且僅當x=1，y=2時取得等號．

即F的最小值為1

【解析】（1）對x的范圍進行討論，去掉絕對值符號，轉化為一元一次不等式解出；（2）將兩式相加，利用絕對值不等式化簡即可得出結論．
【考點精析】解答此題的關鍵在于理解函數的最值及其幾何意義的相關知識，掌握利用二次函數的性質（配方法）求函數的最大（�。┲担焕�用圖象求函數的最大（小）值；利用函數單調性的判斷函數的最大（小）值．