Question

定義在（0，+∞）的函數(shù)f（x），對(duì)于任意的a，b∈（0，+∞），都有f（ab）=f（a）+f（b）成立，當(dāng)x＞1時(shí)，f（x）＜0．
（1）求證：1是函數(shù)f（x）的零點(diǎn)；
（2）判斷f（x）在（0，+∞）上的單調(diào)性，并證明；
（3）若，解不等式（m＞0）．

Answer 1

證明：（1）令a=b=1，
則f（1×1）=f（1）+f（1）=f（1），
∴f（1）=0
∴1是函數(shù)f（x）的零點(diǎn)．
（2）令a=x，b=，
則f（1）=f（）=f（x）+f（）=0，
∴f（）=-f（x），
任意x₁、x₂∈（0，+∞），且x₂＞x₁＞0，
∴，
∴，
∴f（x₂）＜f（x₁）
∴函數(shù)f（x）在（0，+∞）上是單調(diào)遞減函數(shù)．
（3）∵，
∴不等式．即為：，
又因?yàn)楹瘮?shù)f（x）在（0，+∞）上是單調(diào)遞減函數(shù)，
∴，又∵m＞0，
解得：
故不等式的解集為：．
分析：（1）此問可以采用分析法分析，要證結(jié)論成立只需證f（1）=0，結(jié)合條件：任意的a，b∈（0，+∞），都有f（ab）=f（a）+f（b）成立，中的任意性只要對(duì) a、b取特值即可解決此問題；
（2）根據(jù)函數(shù)單調(diào)性的定義，首先應(yīng)在給定區(qū)間上任設(shè)兩數(shù)并限定大小，在充分利用條件：當(dāng)x＞1時(shí)，f（x）＜0即可獲得兩數(shù)對(duì)應(yīng)函數(shù)值之間的大小，從而問題即可獲得解答；
（3）首先結(jié)合所給不等式進(jìn)行轉(zhuǎn)化，轉(zhuǎn)化為左右兩邊都為抽象表達(dá)形式的不等式，再結(jié)合所證明的單調(diào)性即可獲得問題的解答．
點(diǎn)評(píng)：本題考查抽象函數(shù)及其應(yīng)用．解決此類問題的關(guān)鍵是利用好條件中的函數(shù)性質(zhì)等式．判斷抽象函數(shù)的單調(diào)性通常應(yīng)用定義法．值得同學(xué)們體會(huì)和反思．