Question

1．已知數(shù)列{a_n}為單調遞減的等差數(shù)列，a₁+a₂+a₃=21，且a₁-1，a₂-3，a₃-3成等比數(shù)列．
（1）求數(shù)列{a_n}的通項公式；
（2）設b_n=|a_n|，求數(shù)列{b_n}的前項n和T_n．

Answer 1

分析 （1）由條件a₁-1，a₂-3，a₃-3成等比數(shù)列，可得$（{a}_{2}-3）^{2}=（{a}_{1}-1）（{a}_{3}-3）$，又因為a₁+a₂+a₃=21，a₁+a₃=2a₂，解得a₁和d，即可求出通項公式；
（2）b_n=|a_n|=$\left\{\begin{array}{l}{11-2n，n≤5}\\{2n-11，n≥6}\end{array}\right.$，分類討論再利用等差數(shù)列的前n項和公式即可得T_n．

解答 解：（1）設數(shù)列{a_n}的公差為d，由a₁+a₂+a₃=21得a₂=7，
∴a₁=7-d，a₃=7+d，
∵a₁-1，a₂-3，a₃-3成等比數(shù)列，
∴${（{a_2}-3）^2}=（{a_1}-1）（{a_3}-3）$，即4²=（6-d）（4+d），
解得d₁=4（舍），d₂=-2，
∴a_n=a₂+（n-2）d=7+（n-2）•（-2）=-2n+11．
（2）${b_n}=|{a_n}|=|11-2n|=\left\{\begin{array}{l}11-2n，n≤5\\ 2n-11，n≥6\end{array}\right.$，
設數(shù)列{a_n}的前項n和為S_n，則${S_n}=-{n^2}+10n$．
當n≤5時，${T_n}={b_1}+{b_2}+…+{b_n}={S_n}=-{n^2}+10n$．
當n≥6時，T_n=b₁+b₂+…+b_n=a₁+a₂+…+a₅-（a₆+a₇+…+a_n）
=$-{S_n}+2{S_5}={n^2}-10n+2（-{5^2}+10×5）={n^2}-10n+50$．
∴${T_n}=\left\{\begin{array}{l}-{n^2}+10n，n≤5\\{n^2}-10n+50，n≥6\end{array}\right.$．

點評 本題考查了等差數(shù)列與等比數(shù)列的通項公式及其前n項和公式、絕對值數(shù)列，考查了分類討論思想方法，考查了推理能力與計算能力，屬于中檔題．