Question

15．如圖，在△ABC中，AD為∠BAC的平分線，AE為邊BC上的中線，已知AB=3，AC=5，AE=$\frac{7}{2}$．
（1）求角A；
（2）求AD的長．

Answer 1

分析 （1）利用三角形中線的求法，求出BC，利用余弦定理，求角A；
（2）求出BD，△ABD中，由余弦定理建立方程，即可求AD的長．

解答 解：（1）利用三角形中線的求法，可得BC²+4AE²=2（AB²+AC²）．
代入可得BC²+49=2（3²+5²），∴BC=$\sqrt{19}$．
由余弦定理可得cosA=$\frac{9+25-19}{2×3×5}$=$\frac{1}{2}$，
∴A=60°；
（2）由三角形角平分線的性質(zhì)，可得$\frac{BD}{DC}$=$\frac{AB}{AC}$=$\frac{3}{5}$，
∴BD=$\frac{3}{5}$DC=$\frac{3\sqrt{19}}{8}$．
△ABD中，由余弦定理可得（$\frac{3\sqrt{19}}{8}$）²=9+AD²-2×3×AD×cos30°，
∴AD=$\frac{15\sqrt{3}}{8}$或$\frac{9\sqrt{3}}{8}$．

點(diǎn)評 本題考查余弦定理的運(yùn)用，考查三角形角平分線的性質(zhì)，考查學(xué)生分析解決問題的能力，屬于中檔題．