Question

13．曲線C₁參數(shù)方程是$\left\{\begin{array}{l}x=2cosφ\\ y=3sinφ\end{array}$（φ為參數(shù)），以坐標原點為極點，x軸的正半軸為極軸建極坐標系，曲線C₂的極坐標方程是ρ=2，正方形ABCD的頂點都在C₂上，且A、B、C、D按逆時針次序排列，點A極坐標為（2，$\frac{π}{3}$）
（1）求點A、B、C、D的直角坐標
（2）設(shè)P為C₁上任意一點，求|PA|²+|PC|²的取值范圍．

Answer 1

分析 （1）根據(jù)極坐標與直角坐標的對應(yīng)關(guān)系得出；
（2）設(shè)P（2cosφ，3sinφ），利用兩點間的距離公式得出|PA|²+|PC|²關(guān)于φ的函數(shù)，利用三角恒等變換得出最值．

解答 解：（1）∵2cos$\frac{π}{3}$=1，2sin$\frac{π}{3}$=$\sqrt{3}$，∴A（1，$\sqrt{3}$）．
∵2cos（$\frac{π}{3}+\frac{π}{2}$）=-$\sqrt{3}$，2sin（$\frac{π}{3}+\frac{π}{2}$）=1，∴B（-$\sqrt{3}$，1）．
∵2cos（$\frac{π}{3}$+π）=-1，2sin（$\frac{π}{3}+π$）=-$\sqrt{3}$，∴C（-1，-$\sqrt{3}$）．
∵2cos（$\frac{π}{3}+\frac{3π}{2}$）=$\sqrt{3}$，2sin（$\frac{π}{3}+\frac{3π}{2}$）=-1，∴D（$\sqrt{3}$，-1）．
（2）設(shè)P（2cosφ，3sinφ），則|PA|²=（2cosφ-1）²+（3sinφ-$\sqrt{3}$）²，|PB|²=（2cosφ+1）²+（3sinφ+$\sqrt{3}$）²．
∴|PA|²+|PC|²=8cos²φ+18sin²φ+8=16+10sin²φ．
∵0≤sin²φ≤1，
∴當sin²φ=0時，|PA|²+|PB|²取得最小值16，當sin²φ=1時，|PA|²+|PB|²取得最大值26．
∴|PA|²+|PB|²的取值范圍是[16，26]．

點評 本題考查了極坐標與直角坐標的對應(yīng)關(guān)系，距離公式的應(yīng)用及三角恒等變換，屬于中檔題．