Question

1．已知橢圓C：$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$+$\frac{{y}^{2}}{^{2}}$=1（a＞b＞0）的離心率為$\frac{\sqrt{6}}{3}$，過焦點垂直于長軸的弦的弦長為$\frac{{2\sqrt{3}}}{3}$．
（1）求橢圓C的方程；
（2）設直線l與橢圓C交于A，B兩點，坐標原點O到直線l的距離為$\frac{\sqrt{3}}{2}$，求△AOB面積的最大值．

Answer 1

分析 （1）設橢圓的半焦距為c，依題意$\left\{\begin{array}{l}\frac{c}{a}=\frac{{\sqrt{6}}}{3}\\ \frac{{2{b^2}}}{a}=\frac{{2\sqrt{3}}}{3}\end{array}\right.$，又a²=b²+c²，解出即可得出．
（2）設A（x₁，y₁），B（x₂，y₂）．①當AB⊥x軸時，|AB|=$\sqrt{3}$．
②當AB與x軸不垂直時，設直線AB的方程為：y=kx+m．由已知：$\frac{|m|}{\sqrt{1+{k}^{2}}}$=$\frac{\sqrt{3}}{2}$，可得m²=$\frac{3}{4}$（k²+1）．
把y=kx+m代入橢圓方程，整理得（3k²+1）x²-6kmx+3m²-3=0，利用|AB|²=（1+k²）$[（{x}_{1}+{x}_{2}）^{2}-4{x}_{1}{x}_{2}]$=3+$\frac{12}{9{k}^{2}+\frac{1}{{k}^{2}}+6}$，利用基本不等式的性質(zhì)即可得出最大值．

解答 解：（1）設橢圓的半焦距為c，依題意$\left\{\begin{array}{l}\frac{c}{a}=\frac{{\sqrt{6}}}{3}\\ \frac{{2{b^2}}}{a}=\frac{{2\sqrt{3}}}{3}\end{array}\right.$，又a²=b²+c²，
∴$\left\{\begin{array}{l}a=\sqrt{3}\\ b=1\end{array}\right.$，
故所求橢圓方程為：$\frac{{x}^{2}}{3}$-y²=1．
（2）設A（x₁，y₁），B（x₂，y₂）．
①當AB⊥x軸時，|AB|=$\sqrt{3}$．
②當AB與x軸不垂直時，設直線AB的方程為：y=kx+m．
由已知：$\frac{|m|}{\sqrt{1+{k}^{2}}}$=$\frac{\sqrt{3}}{2}$，得m²=$\frac{3}{4}$（k²+1）．
把y=kx+m代入橢圓方程，整理得（3k²+1）x²-6kmx+3m²-3=0，
∴x₁+x₂=$\frac{6km}{1+3{k}^{2}}$，x₁x₂=$\frac{3{m}^{2}-3}{1+3{k}^{2}}$．
∴|AB|²=（1+k²）$[（{x}_{1}+{x}_{2}）^{2}-4{x}_{1}{x}_{2}]$
=（1+k²）$[\frac{36{k}^{2}{m}^{2}}{（1+3{k}^{2}）^{2}}-\frac{12（{m}^{2}-1）}{1+3{k}^{2}}]$=$\frac{3（{k}^{2}+1）（9{k}^{2}+1）}{（3{k}^{2}+1）^{2}}$=3+$\frac{12}{9{k}^{2}+\frac{1}{{k}^{2}}+6}$≤3+$\frac{12}{2×3+6}$=4．
當且僅當$9{k}^{2}=\frac{1}{{k}^{2}}$，即k=$±\frac{\sqrt{3}}{3}$時等號成立．
當k=0時，|AB|=$\sqrt{3}$，
綜上所述：|AB|_max=2．
所以，當|AB|最大時，△AOB面積取最大值s=$\frac{1}{2}×|AB{|}_{max}×$$\frac{\sqrt{3}}{2}$=$\frac{\sqrt{3}}{2}$．

點評 本題考查了橢圓的標準方程及其性質(zhì)、直線與橢圓相交弦長問題、三角形面積計算公式、點到直線的距離公式、基本不等式的性質(zhì)，考查了推理能力與計算能力，屬于難題．