分析 (1)設(shè)橢圓的半焦距為c,依題意$\left\{\begin{array}{l}\frac{c}{a}=\frac{{\sqrt{6}}}{3}\\ \frac{{2{b^2}}}{a}=\frac{{2\sqrt{3}}}{3}\end{array}\right.$,又a2=b2+c2,解出即可得出.
(2)設(shè)A(x1,y1),B(x2,y2).①當(dāng)AB⊥x軸時(shí),|AB|=$\sqrt{3}$.
②當(dāng)AB與x軸不垂直時(shí),設(shè)直線AB的方程為:y=kx+m.由已知:$\frac{|m|}{\sqrt{1+{k}^{2}}}$=$\frac{\sqrt{3}}{2}$,可得m2=$\frac{3}{4}$(k2+1).
把y=kx+m代入橢圓方程,整理得(3k2+1)x2-6kmx+3m2-3=0,利用|AB|2=(1+k2)$[({x}_{1}+{x}_{2})^{2}-4{x}_{1}{x}_{2}]$=3+$\frac{12}{9{k}^{2}+\frac{1}{{k}^{2}}+6}$,利用基本不等式的性質(zhì)即可得出最大值.
解答 解:(1)設(shè)橢圓的半焦距為c,依題意$\left\{\begin{array}{l}\frac{c}{a}=\frac{{\sqrt{6}}}{3}\\ \frac{{2{b^2}}}{a}=\frac{{2\sqrt{3}}}{3}\end{array}\right.$,又a2=b2+c2,
∴$\left\{\begin{array}{l}a=\sqrt{3}\\ b=1\end{array}\right.$,
故所求橢圓方程為:$\frac{{x}^{2}}{3}$-y2=1.
(2)設(shè)A(x1,y1),B(x2,y2).
①當(dāng)AB⊥x軸時(shí),|AB|=$\sqrt{3}$.
②當(dāng)AB與x軸不垂直時(shí),設(shè)直線AB的方程為:y=kx+m.
由已知:$\frac{|m|}{\sqrt{1+{k}^{2}}}$=$\frac{\sqrt{3}}{2}$,得m2=$\frac{3}{4}$(k2+1).
把y=kx+m代入橢圓方程,整理得(3k2+1)x2-6kmx+3m2-3=0,
∴x1+x2=$\frac{6km}{1+3{k}^{2}}$,x1x2=$\frac{3{m}^{2}-3}{1+3{k}^{2}}$.
∴|AB|2=(1+k2)$[({x}_{1}+{x}_{2})^{2}-4{x}_{1}{x}_{2}]$
=(1+k2)$[\frac{36{k}^{2}{m}^{2}}{(1+3{k}^{2})^{2}}-\frac{12({m}^{2}-1)}{1+3{k}^{2}}]$=$\frac{3({k}^{2}+1)(9{k}^{2}+1)}{(3{k}^{2}+1)^{2}}$=3+$\frac{12}{9{k}^{2}+\frac{1}{{k}^{2}}+6}$≤3+$\frac{12}{2×3+6}$=4.
當(dāng)且僅當(dāng)$9{k}^{2}=\frac{1}{{k}^{2}}$,即k=$±\frac{\sqrt{3}}{3}$時(shí)等號(hào)成立.
當(dāng)k=0時(shí),|AB|=$\sqrt{3}$,
綜上所述:|AB|max=2.
所以,當(dāng)|AB|最大時(shí),△AOB面積取最大值s=$\frac{1}{2}×|AB{|}_{max}×$$\frac{\sqrt{3}}{2}$=$\frac{\sqrt{3}}{2}$.
點(diǎn)評(píng) 本題考查了橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程及其性質(zhì)、直線與橢圓相交弦長問題、三角形面積計(jì)算公式、點(diǎn)到直線的距離公式、基本不等式的性質(zhì),考查了推理能力與計(jì)算能力,屬于難題.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:選擇題
A. | -$\frac{\sqrt{2}}{3}$ | B. | $\frac{\sqrt{2}}{3}$ | C. | -$\frac{1}{3}$ | D. | $\frac{1}{3}$ |
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:填空題
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:填空題
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:選擇題
A. | {y|y≥0} | B. | {x|x$>\frac{1}{2}$} | C. | {x|0$<x<\frac{1}{2}$} | D. | {y|y>0} |
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:選擇題
A. | f(-1)>f($\frac{\sqrt{3}}{3}$) | B. | f($\sqrt{2}$)>f(-$\sqrt{2}$) | C. | f(4)>f(3) | D. | f(-$\sqrt{2}$)>f($\sqrt{3}$) |
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:選擇題
A. | (-∞,2ln2+3) | B. | (-∞,2ln2-3) | C. | (2ln2-3,+∞) | D. | (2ln2+3,+∞) |
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