已知△ABC的三個內(nèi)角分別為A、B、C,所對的邊分別為a、b、c,向量
m
=(sinB,1-cosB)
與向量
n
=(2,0)
的夾角為
π
3
;
(1)求角B的大�。�
(2)求
a+c
b
的取值范圍.
分析:(1)先將
m
n
化簡,再利用向量的數(shù)量積公式求出
m
 •
n
,利用向量模的公式求出兩個向量的模,求出角B.
(2)利用三角形的內(nèi)角和為π,求出A+C的值,求出sinA+sinC的范圍,利用三角形的正弦定理將
a+c
b
sinA+sinC
sinB
表示,求出
a+c
b
的范圍.
解答:解(1)
m
=2sin
B
2
(cos
B
2
,sin
B
2
);
n
=2(1,0)

m
n
=4sin
B
2
•cos
B
2
   |
m
|=2sin
B
2
||
n
|=2

cos<
m
n
>=cos
π
3
=
m
n
|
m
|•|
n
|
=cos
B
2

B
2
=
π
3
⇒B=
2
3
π

(2)B=
2
3
π

A+C=
π
3

sinA+sinC=sinA+sin(
π
3
-A)

=sinA+sin
π
3
•cosA-cos
π
3
•sinA
=
1
2
sinA+
3
2
cosA=sin(A+
π
3
)

又0<A<
π
3

π
3
<A+
π
3
2
3
π

3
2
<sin(A+
π
3
)≤1

a+b
c
=
sinA+sinC
sinB
的取值范圍是(1,
2
3
3
]
點評:求向量的夾角問題常利用向量的數(shù)量積公式;解決三角形邊、角關(guān)系的問題一般利用的工具是正弦定理、余弦定理、三角形的內(nèi)角和.
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