Question

（本小題滿分10分）
如圖，AB是⊙O的直徑 ，AC是弦 ，∠BAC的平分線AD交⊙O于點D，DE⊥AC，交AC的延長線于點E.OE交AD于點F.

（1）求證：DE是⊙O的切線；
（2）若，求的值.

Answer 1

（1）結(jié)合同弧所對的圓周角相等來求解直線DE⊥OD，同時OD是圓的半徑來說明是切線
（2）根據(jù)題意可知△AED∽△ADB可得 AD²=AC·AB
求解得到AE，又由△AEF∽△DOF，得到比值。

解析試題分析：略證 （１） 連結(jié)OD，可得∠ODA=∠OAD=∠DAC ……2分
∴OD∥AE  又AE⊥DE             …………3分
∴DE⊥OD，又OD為半徑 ∴ DE是的⊙O切線 …………5分
⑵ 提示：過D作DH⊥AB于H 則有∠DOH=∠CAB
 
Cos∠DOH=cos∠CAB=   ……………………6分
設(shè)OD=5x，則AB=10x，OH=3x，DH=4x
∴AH=8x   AD²=80x²
由△AED∽△ADB可得 AD²=AC·AB=AC·10x  
∴AE=8X…………8分
又由△AEF∽△DOF   可得AF∶DF= AE∶OD =；
∴=……10分
考點：圓的切線問題，以及相似比的運用。
點評：解決該試題的關(guān)鍵是利用垂直關(guān)系證明相切同時利用相似比來求解比值問題，屬于基礎(chǔ)題。