Question

2．函數f（x）=x³-3x+c有兩個零點，則c=-2或2．

Answer 1

分析 若函數f（x）恰好有兩個不同的零點，等價為函數的極值為0，建立方程即可得到結論

解答 解：∵f（x）=x³-3x+c，
∴f'（x）=3x²-3，
由f'（x）＞0，得x＞1或x＜-1，此時函數單調遞增，
由f'（x）＜0，得-1＜x＜1，此時函數單調遞減．
即當x=-1時，函數f（x）取得極大值，當x=1時，函數f（x）取得極小值．
要使函數f（x）=x³-3x+a只有兩個零點，則滿足極大值等于0或極小值等于0，
由極大值f（-1）=-1+3+c=c+2=0，解得c=-2；再由極小值f（1）=1-3+c=c-2=0，解得c=2．
綜上實數c的取值范圍：c=-2或c=2，
故答案為：-2或2．

點評 本題主要考查三次函數的圖象和性質，利用導數求出函數的極值是解決本題的關鍵，屬于中檔題．