Question

2．函數(shù)f（x）=x³-3x+c有兩個(gè)零點(diǎn)，則c=-2或2．

Answer 1

分析 若函數(shù)f（x）恰好有兩個(gè)不同的零點(diǎn)，等價(jià)為函數(shù)的極值為0，建立方程即可得到結(jié)論

解答 解：∵f（x）=x³-3x+c，
∴f'（x）=3x²-3，
由f'（x）＞0，得x＞1或x＜-1，此時(shí)函數(shù)單調(diào)遞增，
由f'（x）＜0，得-1＜x＜1，此時(shí)函數(shù)單調(diào)遞減．
即當(dāng)x=-1時(shí)，函數(shù)f（x）取得極大值，當(dāng)x=1時(shí)，函數(shù)f（x）取得極小值．
要使函數(shù)f（x）=x³-3x+a只有兩個(gè)零點(diǎn)，則滿足極大值等于0或極小值等于0，
由極大值f（-1）=-1+3+c=c+2=0，解得c=-2；再由極小值f（1）=1-3+c=c-2=0，解得c=2．
綜上實(shí)數(shù)c的取值范圍：c=-2或c=2，
故答案為：-2或2．

點(diǎn)評(píng) 本題主要考查三次函數(shù)的圖象和性質(zhì)，利用導(dǎo)數(shù)求出函數(shù)的極值是解決本題的關(guān)鍵，屬于中檔題．