Question

12．已知點(diǎn)A（-3，4），圓C：（x-1）²+（y-2）²=1，若一光線經(jīng)過點(diǎn)A并經(jīng)x軸反射后能經(jīng)過圓C上的某一點(diǎn)，求入射線與x軸交點(diǎn)的橫坐標(biāo)的取值范圍．

Answer 1

分析 求出圓C關(guān)于x軸對(duì)稱圓的方程，設(shè)過A的直線方程為y-4=k（x+3），圓心（1，-2）到直線的距離為$\frac{|4k+6|}{\sqrt{{k}^{2}+1}}$≤1，求出k的范圍，即可求入射線與x軸交點(diǎn)的橫坐標(biāo)的取值范圍．

解答 解：圓C：（x-1）²+（y-2）²=1，關(guān)于x軸對(duì)稱圓的方程為（x-1）²+（y+2）²=1，
設(shè)過A的直線方程為y-4=k（x+3），即kx-y+3k+4=0，
圓心（1，-2）到直線的距離為$\frac{|4k+6|}{\sqrt{{k}^{2}+1}}$≤1，
∴-$\frac{8}{5}$-$\frac{\sqrt{51}}{15}$≤k≤-$\frac{8}{5}$+$\frac{\sqrt{51}}{15}$，
∴$\frac{-24-\sqrt{51}}{35}$≤$\frac{1}{k}$≤$\frac{-24+\sqrt{51}}{35}$，
kx-y+3k+4=0，令y=0，
可得x=-3-$\frac{4}{k}$∈[$\frac{-9-4\sqrt{51}}{35}$，$\frac{-9+4\sqrt{51}}{35}$]．

點(diǎn)評(píng) 本題考查求入射線與x軸交點(diǎn)的橫坐標(biāo)的取值范圍，考查直線與圓的位置關(guān)系，考查學(xué)生的計(jì)算能力，屬于中檔題．