Question

4．國防專業(yè)越來越受年輕學(xué)子的青睞，為了解某市高三報(bào)考國防專業(yè)學(xué)生的身高（單位：cm）情況，現(xiàn)將該市某學(xué)校報(bào)考國防專業(yè)的學(xué)生的身高作為樣本，獲得的數(shù)據(jù)整理后得到如圖所示的頻率分布直方圖，其中樣本數(shù)據(jù)的分組區(qū)間為[165，170），[170，175），[175，180），[180，185），[185，190）．已知圖中從左至右第一、三、五小組的頻率之比為1：3：2，其中第三小組的頻數(shù)為15．
（1）求該校報(bào)考國防專業(yè)學(xué)生的總?cè)藬?shù)n；
（2）若用這所學(xué)校報(bào)考國防專業(yè)的學(xué)生的身高的樣本數(shù)據(jù)來估計(jì)該市的總體情況，現(xiàn)從該市報(bào)考國防專業(yè)的學(xué)生中任選4人，設(shè)ξ表示身高不低于175cm的學(xué)生人數(shù)，求ξ的分布列和數(shù)學(xué)期望．

Answer 1

分析 （1）設(shè)從左至右第一、三、五小組的頻率分別為p₁，p₂，p₃，根據(jù)前3個(gè)小組的頻率之比為1：3：2和所求頻率和為1建立方程組，解之即可求出第二組頻率，然后根求該校報(bào)考國防專業(yè)學(xué)生的總?cè)藬?shù)n即可；
（2）由1）可得，報(bào)考國防專業(yè)的學(xué)生的身高不低于175cm的概率p=p₂+p₃+0.05）×5=$\frac{3}{4}$，所以ξ服從二項(xiàng)分布B（4，$\frac{3}{4}$），從而求出ξ的分布列，最后利用數(shù)學(xué)期望公式進(jìn)行求解．

解答 解：（1）設(shè)從左至右第一、三、五小組的頻率分別為p₁，p₂，p₃．
則由題意可知，$\left\{\begin{array}{l}{{p}_{2}=3{p}_{1}}\\{{p}_{3}=2{p}_{1}}\\{{p}_{1}+{p}_{2}+{p}_{3}+（0.03+0.05）×5=1}\end{array}\right.$．
解得p₁=0.1，p₂=0.3，p₃=0.2．
因此該校報(bào)考國防專業(yè)的總?cè)藬?shù)n=$\frac{15}{0.3}$=50．
（2）由（1）可知，報(bào)考國防專業(yè)的學(xué)生的身高不低于175cm的概率p=p₂+p₃+0.05）×5=$\frac{3}{4}$．
所以ξ服從二項(xiàng)分布B（4，$\frac{3}{4}$），P（ξ=k）=${C}_{4}^{k}$（ $\frac{3}{4}$）^k•（1-$\frac{3}{4}$）^4-k，k=0，1，2，3，4．
隨機(jī)變量ξ的分布列為

X	0	1	2	3	4
P	$\frac{1}{256}$	$\frac{3}{64}$	$\frac{27}{128}$	$\frac{27}{64}$	$\frac{81}{256}$

∵ξ～B（4，$\frac{3}{4}$），∴Eξ=4×$\frac{3}{4}$=3．

點(diǎn)評 本題主要考查了頻率分布直方圖，以及離散型隨機(jī)變量的概率分布和數(shù)學(xué)期望，同時(shí)考查了計(jì)算能力，屬于中檔題．