Question

7．如圖，設(shè)銳角△ABC的外接圓ω的圓心為O，經(jīng)過A，O，C三點(diǎn)的圓ω₁的圓心為K，且與邊AB和BC分別相交于點(diǎn)M和N，現(xiàn)知點(diǎn)L與K關(guān)于直線MN對(duì)稱，證明：BL⊥AC．

Answer 1

分析 連接OB，LK，OK，AN，取BC的中點(diǎn)D，連接OD，運(yùn)用同弧（等�。┧鶎�(duì)的圓周角和圓心角的關(guān)系，BO⊥MN，由對(duì)稱性可得BO∥LK；運(yùn)用三角形全等的判定可得△AOK≌△LKM，得出LK=OA=OB，得出四邊形BLKO為平行四邊形，即可得證．

解答 證明：如圖，連接OB，LK，OK，AN，取BC的中點(diǎn)D，連接OD，
由∠OBN+∠BNM=∠OBN+∠BAC=∠OBN+∠BOD=90°，
得出BO⊥MN，又LK⊥MN，故BO∥LK…①
又∠BAN=∠BAO+∠OAN=∠BAO+∠OCB=∠ABO+∠CBO=∠ABC，
而2∠BAN=2∠BAC+2∠CAN=2∠MNC+2∠CAN=∠MKC+∠CKN=∠MKN，
且2∠ABC=∠AOC，故∠MKN=∠AOC，
因此∠AOK=∠MKL，又KO=KA=KM=ML，
于是∠OAK=∠AOK=∠MKL=∠MLK，
所以△AOK≌△LKM，因此得出LK=OA=OB…②
由①②得出四邊形BLKO為平行四邊形，
故BL∥OK，由OK⊥AC，
因此有BL⊥AC．

點(diǎn)評(píng) 本題考查圓的垂徑定理、同�。ǖ然。┧鶎�(duì)的圓周角和圓心角的關(guān)系、全等三角形的判定和性質(zhì)和兩直線平行的判定和性質(zhì)，考查推理和運(yùn)算能力，屬于難題．