Question

9．如圖，橢圓E的左右頂點(diǎn)分別為A、B，左右焦點(diǎn)分別為F₁、F₂，|AB|=4，|F₁F₂|=2$\sqrt{3}$，直線l：y=kx+m（k＞0）交橢圓于C、D兩點(diǎn)，與線段F₁F₂及橢圓短軸分別交于M、N兩點(diǎn)（M、N不重合），且|CM|=|DN|．
（Ⅰ）求橢圓E的離心率；
（Ⅱ）若CD的垂直平分線過(guò)點(diǎn)（-1，0），求直線l的方程．

Answer 1

分析 （Ⅰ）由$|{AB}|=4，|{{F_1}{F_2}}|=2\sqrt{3}$，求出$a=2，c=\sqrt{3}$，求出b，得到橢圓方程，然后求解離心率．
（Ⅱ）設(shè)C（x₁，y₁），D（x₂，y₂）易知$N（{0，m}），M（{-\frac{m}{k}，0}）$，由$\left\{{\begin{array}{l}{y=kx+m}\\{{x^2}+4{y^2}=4}\end{array}}\right.$消去y整理，通由△＞0韋達(dá)定理，設(shè)CD的中點(diǎn)為H（x₀，y₀），求出直線l的垂直平分線方程為$y-\frac{m}{2}=-2（{x+m}）$，通過(guò)過(guò)點(diǎn)（-1，0），求解直線l的方程．

解答 解：（Ⅰ）由$|{AB}|=4，|{{F_1}{F_2}}|=2\sqrt{3}$，可知$a=2，c=\sqrt{3}$，可得b=1，
則橢圓方程為$\frac{x^2}{4}+{y^2}=1$…．（2分）
離心率是$e=\frac{{\sqrt{3}}}{2}$…．（4分）
（Ⅱ）設(shè)C（x₁，y₁），D（x₂，y₂）易知$N（{0，m}），M（{-\frac{m}{k}，0}）$…（5分）
由$\left\{{\begin{array}{l}{y=kx+m}\\{{x^2}+4{y^2}=4}\end{array}}\right.$（k＞0）消去y整理得：（1+4k²）x²+8kmx+4m²-4=0
由△＞0⇒4k²+m²+1＞0，${x_1}+{x_2}=\frac{-8km}{{1+4{k^2}}}，{x_1}{x_2}=\frac{{4{m^2}-4}}{{1+4{k^2}}}$…（6分）
且|CM|=|DN|即$\overrightarrow{CM}=\overrightarrow{ND}$可知${x_1}+{x_2}=-\frac{m}{k}$，即$\frac{-8km}{{1+4{k^2}}}=-\frac{m}{k}$，解得$k=\frac{1}{2}$…．（8分）${x_1}+{x_2}=-2m，{y_1}+{y_2}=2{m^2}-2$，設(shè)CD的中點(diǎn)為H（x₀，y₀），
則${x_0}=\frac{{{x_1}+{x_2}}}{2}=-m，{y_0}=\frac{{{y_1}+{y_2}}}{2}=\frac{m}{2}$…．（10分）
直線l的垂直平分線方程為$y-\frac{m}{2}=-2（{x+m}）$過(guò)點(diǎn)（-1，0），解得$m=\frac{4}{3}$
此時(shí)直線l的方程為$y=\frac{1}{2}x+\frac{4}{3}$…．（12分）

點(diǎn)評(píng) 本題考查橢圓方程的求法，直線與橢圓的位置關(guān)系的綜合應(yīng)用，考查計(jì)算能力以及轉(zhuǎn)化思想的應(yīng)用．